Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 03 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận chuyển vị của $A$, ký hiệu là $A^T$?
- A. $egin{pmatrix} -2 & 1 -3 & -4 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 2 & 3 -1 & 4 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 4 & -1 3 & 2 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 2 & -1 -3 & -4 end{pmatrix}
Câu 2: Cho hai vectơ $u = (1, 2, -1)$ và $v = (0, -1, 3)$ trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng (dot product) của $u$ và $v$, ký hiệu là $u cdot v$.
- A. (-7)
- B. (5)
- C. (0, 1, 2)
- D. (-5)
Câu 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ có nghiệm không tầm thường (nhiệm khác vectơ không) khi và chỉ khi nào về định thức của ma trận hệ số $A$?
- A. $det(A) > 0$
- B. $det(A)
eq 0$
- C. $det(A) = 0$
- D. $det(A) < 0$
Câu 4: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của $mathbb{R}^3$?
- A. $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x + y + z = 0}$
- B. $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x = 1}$
- C. $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x^2 + y^2 = 0}$
- D. $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x geq 0, y geq 0, z geq 0}$
Câu 5: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (2x + y, x - y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc $E = {(1, 0), (0, 1)}$ của $mathbb{R}^2$ là ma trận nào?
- A. $egin{pmatrix} 1 & -1 2 & 1 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 2 & 1 1 & -1 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 1 end{pmatrix}
Câu 6: Giá trị riêng của ma trận $A = egin{pmatrix} 3 & 0 0 & -2 end{pmatrix}$ là:
- A. 3 và -2
- B. 3 và 2
- C. 0 và 0
- D. Không có giá trị riêng thực
Câu 7: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}$. Hạng (rank) của ma trận $A$ là bao nhiêu?
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. Không xác định
Câu 8: Cho hệ phương trình tuyến tính $egin{cases} x + y = 3 2x - y = 0 end{cases}$. Nghiệm của hệ phương trình này là:
- A. $(x, y) = (0, 3)$
- B. $(x, y) = (3, 0)$
- C. $(x, y) = (2, 1)$
- D. $(x, y) = (1, 2)$
Câu 9: Định thức của ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{pmatrix}$ là:
Câu 10: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^2$ với tích vô hướng Euclid. Chuẩn (norm) của vectơ $v = (-3, 4)$ là:
Câu 11: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Vectơ riêng nào sau đây ứng với giá trị riêng $lambda = 3$ của ma trận $A$?
- A. $(1, -1)$
- B. $(0, 1)$
- C. $(2, 1)$
- D. $(1, 1)$
Câu 12: Cho ba vectơ $u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1), w = (1, 1, 0)$ trong $mathbb{R}^3$. Ba vectơ này có độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
- A. Độc lập tuyến tính
- B. Phụ thuộc tuyến tính
- C. Vừa độc lập vừa phụ thuộc
- D. Không xác định được
Câu 13: Cho ma trận vuông $A$ cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A. Nếu $det(A) = 0$ thì $A$ khả nghịch.
- B. Nếu $det(A)
eq 0$ thì $A$ không khả nghịch.
- C. Nếu $det(A)
eq 0$ thì $A$ khả nghịch.
- D. Định thức của ma trận vuông luôn khác 0.
Câu 14: Cho không gian vectơ $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Giao của hai không gian con $V cap W$ có phải là không gian con của $V$ không?
- A. Có, $V cap W$ là không gian con của $V$.
- B. Không, $V cap W$ không phải là không gian con của $V$.
- C. Chỉ khi $V = W$.
- D. Chỉ khi $V cap W = {0}$.
Câu 15: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & -2 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính ma trận nghịch đảo của $A$, ký hiệu $A^{-1}$.
- A. $egin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1/3 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 1 & 2/3 0 & 1/3 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 3 & 2 0 & 1 end{pmatrix}
- D. Không tồn tại ma trận nghịch đảo
Câu 16: Cho ánh xạ $f: mathbb{R}^2
ightarrow mathbb{R}$ xác định bởi $f(x, y) = x + 2y - 1$. Ánh xạ $f$ có phải là ánh xạ tuyến tính không?
- A. Có, $f$ là ánh xạ tuyến tính.
- B. Không, $f$ không phải là ánh xạ tuyến tính.
- C. Chỉ tuyến tính khi $y=0$.
- D. Không xác định được.
Câu 17: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, cho cơ sở $B = {v_1, v_2, v_3}$. Số chiều của không gian $mathbb{R}^3$ là:
- A. 3
- B. 2
- C. 4
- D. Không xác định
Câu 18: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $lambda$ là giá trị riêng của $A$, thì $lambda^2$ là giá trị riêng của ma trận nào?
- A. $2A$
- B. $A + A^T$
- C. $A^2$
- D. $A^{-1}$
Câu 19: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = B$. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi nào?
- A. Khi $B = 0$.
- B. Khi $det(A) = 0$.
- C. Khi hạng của $A$ nhỏ hơn số ẩn.
- D. Khi $det(A)
eq 0$ và hạng của $A$ bằng số ẩn.
Câu 20: Cho tích của hai ma trận $AB = C$. Nếu biết ma trận $A$ và $C$, ta có thể tìm được ma trận $B$ bằng cách nào?
- A. $B = CA^{-1}$
- B. $B = A^{-1}C$
- C. $B = C^T A$
- D. Không thể tìm được $B$.
Câu 21: Trong không gian $mathbb{R}^3$, cho mặt phẳng $(P): x - 2y + z = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là:
- A. $(1, 2, 1)$
- B. $(0, -2, 0)$
- C. $(1, -2, 1)$
- D. $(1, -2, 0)$
Câu 22: Cho hệ vectơ $S = {v_1, v_2, ..., v_k}$ trong không gian vectơ $V$. Khi nào hệ $S$ được gọi là hệ sinh của $V$?
- A. Khi $S$ độc lập tuyến tính.
- B. Khi $S$ chứa vectơ không.
- C. Khi số vectơ trong $S$ bằng số chiều của $V$.
- D. Khi mọi vectơ trong $V$ đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong $S$.
Câu 23: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Tổng các giá trị riêng của $A$ bằng với giá trị nào sau đây của ma trận $A$?
- A. Định thức của $A$.
- B. Vết của $A$.
- C. Hạng của $A$.
- D. Chuẩn Frobenius của $A$.
Câu 24: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^3$ là:
- A. $E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$
- B. $E = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}$
- C. $E = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}$
- D. $E = {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)}$
Câu 25: Cho ma trận $A$ và $B$ cùng cấp sao cho tích $AB$ xác định. Ma trận chuyển vị của tích $AB$, ký hiệu $(AB)^T$, bằng:
- A. $A^T B^T$
- B. $AB^T$
- C. $B^T A^T$
- D. $BA$
Câu 26: Cho biến đổi tuyến tính $T: V
ightarrow W$. Tập hợp các vectơ $v in V$ sao cho $T(v) = 0$ được gọi là gì?
- A. Ảnh của $T$ (Image of $T$)
- B. Hạt nhân của $T$ (Kernel of $T$)
- C. Không gian cột của $T$ (Column space of $T$)
- D. Không gian hàng của $T$ (Row space of $T$)
Câu 27: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu ma trận $A$ có giá trị riêng $lambda = 0$, thì định thức của $A$ bằng bao nhiêu?
- A. 1
- B. $-1$
- C. 0
- D. Không xác định
Câu 28: Cho không gian vectơ $V$ có số chiều là $n$. Nếu $S = {v_1, v_2, ..., v_n}$ là hệ gồm $n$ vectơ độc lập tuyến tính trong $V$, thì $S$ có phải là cơ sở của $V$ không?
- A. Có, $S$ là cơ sở của $V$.
- B. Không, $S$ không phải là cơ sở của $V$.
- C. Chỉ khi $V = mathbb{R}^n$.
- D. Chỉ khi $S$ là hệ sinh của $V$.
Câu 29: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Ma trận $A$ có khả chéo hóa được không?
- A. Có, $A$ khả chéo hóa được.
- B. Không, $A$ không khả chéo hóa được.
- C. Chỉ khả chéo hóa trên trường số phức.
- D. Không xác định được.
Câu 30: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^2$. Phép biến đổi nào sau đây là phép chiếu vuông góc lên trục Ox?
- A. $T(x, y) = (y, x)$
- B. $T(x, y) = (0, y)$
- C. $T(x, y) = (x+y, 0)$
- D. $T(x, y) = (x, 0)$
