Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số - Đề 04 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 5 & 7 3 & 7 & 11 end{pmatrix}$. Định thức của ma trận A bằng bao nhiêu?
Câu 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi nào, với A là ma trận vuông cấp n?
- A. det(A) ≠ 0
- B. det(A) = 0
- C. rank(A) = n
- D. rank(A) < n-1
Câu 3: Cho $V = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x - 2y + z = 0 ext{ và } 2x + y - z = 0 }$. V là không gian con của $mathbb{R}^3$. Tìm số chiều của không gian con V.
Câu 4: Xét ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ xác định bởi $f(x, y) = (2x - y, x + 3y)$. Ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ là ma trận nào?
- A. $egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 3 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 3 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 1 & 3 2 & -1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 3 & 1 -1 & 2 end{pmatrix}
Câu 5: Cho hai không gian vector con $U$ và $W$ của không gian vector $V$. Phát biểu nào sau đây sai?
- A. $U cap W$ là không gian vector con của $V$.
- B. Nếu $U subseteq W$ thì $U cup W = W$.
- C. $U cup W$ luôn là không gian vector con của $V$.
- D. $U + W = {u + w mid u in U, w in W}$ là không gian vector con của $V$.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm duy nhất: $egin{cases} x + y = 2 x + my = 3 end{cases}$
- A. $m = 1$
- B. $m = -1$
- C. $m = 0$
- D. $m
eq 1$
Câu 7: Cho $z = 1 - isqrt{3}$. Biểu diễn lượng giác của số phức $z$ là:
- A. $2(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
- B. $2(cos(-frac{pi}{3}) + isin(-frac{pi}{3}))$
- C. $sqrt{2}(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
- D. $sqrt{2}(cos(-frac{pi}{3}) + isin(-frac{pi}{3}))$
Câu 8: Trong không gian vector $mathbb{R}^3$, cho cơ sở $B = {u_1 = (1, 0, 1), u_2 = (0, 1, 1), u_3 = (1, 1, 0)}$. Tìm tọa độ của vector $v = (2, -1, 3)$ trong cơ sở $B$.
- A. $(2, -1, 3)_B$
- B. $(3, -2, 1)_B$
- C. $(2, -3, 1)_B$
- D. $(1, -2, 3)_B$
Câu 9: Cho đa thức $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 1$. Tìm phần dư khi chia $P(x)$ cho $x - 2$.
Câu 10: Cho nhóm $(G, *)$ với phần tử đơn vị $e$. Với $a, b in G$, biểu thức $(a * b)^{-1}$ bằng biểu thức nào sau đây?
- A. $a^{-1} * b^{-1}$
- B. $b^{-1} * a^{-1}$
- C. $a * b^{-1}$
- D. $b * a^{-1}$
Câu 11: Trong vành các số nguyên $mathbb{Z}$, xét ideal $I = (6)$ và $J = (8)$. Tìm ideal $I + J$.
- A. $(48)$
- B. $(24)$
- C. $(2)$
- D. $(14)$
Câu 12: Cho trường $mathbb{Z}_5 = {[0]_5, [1]_5, [2]_5, [3]_5, [4]_5}$. Tìm phần tử nghịch đảo của $[3]_5$ trong $mathbb{Z}_5$.
- A. $[4]_5$
- B. $[3]_5$
- C. $[5]_5$
- D. $[2]_5$
Câu 13: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
- A. $egin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 2 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 2/3 & -1/3 -1/3 & 2/3 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 1 & 1/2 1/2 & 1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 1/3 & -1/3 -1/3 & 1/3 end{pmatrix}
Câu 14: Trong không gian vector $mathbb{R}^4$, cho hệ vector $S = {v_1 = (1, 0, 0, 1), v_2 = (0, 1, 1, 0), v_3 = (1, 1, 1, 1)}$. Hệ vector $S$ có độc lập tuyến tính không?
- A. Có, hệ $S$ độc lập tuyến tính.
- B. Không, hệ $S$ phụ thuộc tuyến tính.
- C. Chưa xác định được.
- D. Không đủ thông tin.
Câu 15: Cho dạng toàn phương $Q(x, y) = x^2 + 4xy + 5y^2$. Dạng toàn phương này là:
- A. Xác định dương
- B. Xác định âm
- C. Bán xác định
- D. Không xác định
Câu 16: Giải phương trình $x^2 + 4x + 5 = 0$ trên tập số phức $mathbb{C}$.
- A. $x = -2 pm sqrt{5}$
- B. $x = 2 pm i$
- C. $x = -2 pm sqrt{5}i$
- D. $x = -2 pm i$
Câu 17: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ có ma trận biểu diễn $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end{pmatrix}$ đối với cơ sở chính tắc. Tìm số chiều của hạt nhân (Kerf) của $f$.
Câu 18: Cho không gian vector $V$ và $W$ có số chiều lần lượt là $dim(V) = 3$ và $dim(W) = 2$. Xét ánh xạ tuyến tính $f: V o W$. Số chiều lớn nhất có thể của ảnh (Imf) của $f$ là bao nhiêu?
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: $egin{cases} x - y + z = 0 2x + y - z = 0 end{cases}$
- A. $x = 0, y = z, z in mathbb{R}$
- B. $x = y - z, y, z in mathbb{R}$
- C. $x = z - y, y, z in mathbb{R}$
- D. $x = y = z, z in mathbb{R}$
Câu 20: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 3 & -1 2 & 0 end{pmatrix}$. Tính $A^2 - 3A + 2I$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2.
- A. $egin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 2 & -1 2 & 1 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 0 & -1 2 & -1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end{pmatrix}
Câu 21: Cho không gian vector $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm hình chiếu trực giao của vector $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con $W = {(x, y, 0) mid x, y in mathbb{R}}$.
- A. $(0, 0, 3)$
- B. $(1, 2, 0)$
- C. $(0, 2, 0)$
- D. $(1, 0, 0)$
Câu 22: Cho số phức $z = frac{2 + i}{1 - i}$. Viết $z$ dưới dạng $a + bi$.
- A. $1 - i$
- B. $1 + i$
- C. $frac{1}{2} + frac{3}{2}i$
- D. $frac{3}{2} + frac{1}{2}i$
Câu 23: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & -1 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm tổng các giá trị riêng của ma trận $A$.
Câu 24: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = B$. Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm?
- A. det(A) ≠ 0
- B. rank(A) = rank($overline{A}$)
- C. rank(A) < rank($overline{A}$)
- D. rank(A) > rank($overline{A}$)
Câu 25: Cho $V$ là không gian vector hữu hạn chiều và $f: V o V$ là ánh xạ tuyến tính. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A. Nếu $f$ là đơn cấu thì $f$ không thể là toàn cấu.
- B. Nếu $f$ là toàn cấu thì $f$ không thể là đơn cấu.
- C. $f$ là đơn cấu khi và chỉ khi $f$ là toàn cấu.
- D. $f$ luôn vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu.
Câu 26: Trong trường số phức $mathbb{C}$, tìm tất cả các nghiệm của phương trình $z^3 = 8$.
- A. $z = 2, 2cos(frac{2pi}{3}) + 2isin(frac{2pi}{3}), 2cos(frac{4pi}{3}) + 2isin(frac{4pi}{3})$
- B. $z = 2, 2i, -2i$
- C. $z = 2, -1 + isqrt{3}, -1 - isqrt{3}$
- D. $z = 2, 1 + isqrt{3}, 1 - isqrt{3}$
Câu 27: Cho vành $R = mathbb{Z}_6$. Tìm tất cả các ước của không trong vành $R$.
- A. $[0]_6$
- B. $[2]_6, [3]_6, [4]_6$
- C. $[1]_6, [5]_6$
- D. Không có ước của không khác $[0]_6$.
Câu 28: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm một vector riêng ứng với giá trị riêng $lambda = 3$.
- A. $(1, 1)$
- B. $(1, -1)$
- C. $(1, -1)$
- D. $(2, 1)$
Câu 29: Cho không gian vector $mathbb{R}^2$ với tích vô hướng chính tắc. Áp dụng quá trình Gram-Schmidt cho hệ vector ${(1, 1), (2, 0)}$ để thu được một cơ sở trực giao.
- A. ${(1, 1), (2, 0)}$
- B. ${(1, 1), (-1, 1)}$
- C. ${(frac{1}{sqrt{2}}, frac{1}{sqrt{2}}), (sqrt{2}, 0)}$
- D. ${(1, 1), (1, -1)}$
Câu 30: Trong lý thuyết mã hóa, xét mã tuyến tính C là không gian con sinh bởi các vector hàng của ma trận sinh $G = egin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 0 end{pmatrix}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất của mã C.
