Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 2 - Đề 05 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Xét tích phân suy rộng ∫1^∞ (1/(x^p)) dx. Khẳng định nào sau đây là đúng về sự hội tụ của tích phân này?
- A. Tích phân hội tụ với mọi giá trị của p.
- B. Tích phân hội tụ khi và chỉ khi p > 1.
- C. Tích phân hội tụ khi và chỉ khi p ≥ 1.
- D. Tích phân luôn phân kỳ với mọi giá trị của p.
Câu 2: Tính tích phân đường loại 1 ∫C (x^2 + y^2) ds, trong đó C là đoạn thẳng nối từ điểm A(0, 0) đến B(3, 4).
Câu 3: Cho hàm số f(x, y) = xy^2. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y.
Câu 4: Miền D được giới hạn bởi các đường y = x^2 và y = 2x. Tính diện tích miền D.
- A. 1/3
- B. 4/3
- C. 8/3
- D. 16/3
Câu 5: Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số thuần nhất?
- A. y"" + 3y" - 2y = 0
- B. y"" + 3y" - 2y = sin(x)
- C. y"" + 3y" - 2y^2 = 0
- D. y"" + 3y"y - 2y = 0
Câu 6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" = 2x/y.
- A. y = x^2 + C
- B. y = ±√(x^2 + C)
- C. y = ±√(x^2 + C)
- D. y^2 = 2x^2 + C
Câu 7: Chuỗi số ∑(n=1)^∞ ((-1)^n)/(n+1) là chuỗi gì?
- A. Chuỗi hội tụ tuyệt đối.
- B. Chuỗi bán hội tụ.
- C. Chuỗi phân kỳ.
- D. Không thể xác định sự hội tụ.
Câu 8: Tính tổng của chuỗi hình học vô hạn 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
- A. 3/4
- B. 2/3
- C. 4/3
- D. 3/2
Câu 9: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(n=0)^∞ ((x-2)^n)/(3^n).
- A. (-1, 5)
- B. [-1, 5]
- C. (-5, 1)
- D. [-5, 1]
Câu 10: Áp dụng định lý Green để tính tích phân đường ∮C (y dx - x dy), với C là đường tròn x^2 + y^2 = 4.
Câu 11: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt z = x^2 + y^2 và mặt phẳng z = 4.
- A. 4π
- B. 8π
- C. 16π
- D. 32π
Câu 12: Cho trường vector F(x, y, z) = (x, y, z). Tính div(F) tại điểm (1, 2, 3).
Câu 13: Tính tích phân bội ba ∫∫∫V dV, với V là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Câu 14: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x.
- A. Điểm cực tiểu địa phương tại (1, 0).
- B. Điểm cực đại địa phương tại (1, 0).
- C. Điểm yên ngựa tại (1, 0).
- D. Không có cực trị địa phương.
Câu 15: Giải phương trình vi phân y"" - 4y" + 4y = 0.
- A. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
- B. y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)
- C. y = (C1cos(2x) + C2sin(2x))e^(2x)
- D. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
Câu 16: Cho hàm số z = f(x, y), với x = u + v, y = u - v. Tính ∂z/∂u theo ∂f/∂x và ∂f/∂y.
- A. ∂z/∂u = ∂f/∂x - ∂f/∂y
- B. ∂z/∂u = ∂f/∂x + ∂f/∂y
- C. ∂z/∂u = ∂f/∂x + ∂f/∂y
- D. ∂z/∂u = (∂f/∂x + ∂f/∂y)/2
Câu 17: Tính tích phân suy rộng ∫0^1 (1/√x) dx.
- A. Phân kỳ
- B. 1/2
- C. 1
- D. 2
Câu 18: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(n=0)^∞ (n!/(n^n)) x^n.
Câu 19: Tính tích phân mặt ∫∫S x dS, với S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).
- A. 0
- B. π/4
- C. π/8
- D. π/2
Câu 20: Cho trường vector F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây đảm bảo trường vector F là trường thế?
- A. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
- B. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
- C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
- D. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0
Câu 21: Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân y" + 2y = e^(-t), y(0) = 0.
- A. y(t) = te^(-t)
- B. y(t) = te^(-2t)
- C. y(t) = (e^(-t) - e^(-2t))
- D. y(t) = (e^(-2t) - e^(-t))
Câu 22: Tính tích phân đường loại 2 ∫C F · dr, với F = (y, -x) và C là đường tròn x^2 + y^2 = 1 theo chiều ngược kim đồng hồ.
Câu 23: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y"" + y = sin(x).
- A. y_p = cos(x)
- B. y_p = -cos(x)
- C. y_p = -(x/2)cos(x)
- D. y_p = (x/2)sin(x)
Câu 24: Tính diện tích mặt S cho bởi z = √(x^2 + y^2) nằm trong hình trụ x^2 + y^2 = 2x.
- A. 2π
- B. 2π√2
- C. 4π
- D. 4π√2
Câu 25: Cho chuỗi ∑(n=1)^∞ a_n. Nếu lim(n→∞) a_n ≠ 0, thì chuỗi này:
- A. Hội tụ tuyệt đối.
- B. Bán hội tụ.
- C. Phân kỳ.
- D. Có thể hội tụ hoặc phân kỳ.
Câu 26: Tính tích phân ∫∫R xy dA, với R là hình vuông có các đỉnh (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Câu 27: Giải hệ phương trình vi phân {x" = 2x + y, y" = x + 2y}.
- A. x = C1e^t + C2e^(3t), y = C1e^t - C2e^(3t)
- B. x = C1e^t + C2e^(3t), y = -C1e^t + C2e^(3t)
- C. x = C1e^(-t) + C2e^(3t), y = C1e^(-t) - C2e^(3t)
- D. x = C1e^t + C2e^(3t), y = C1e^t + C2e^(3t)
Câu 28: Tính rot(F) của trường vector F(x, y, z) = (y^2z, xz^2, xy^2).
- A. (2xy - 2xz, -y^2, -z^2)
- B. (2xy - 2xz, y^2, z^2)
- C. (2xy + 2xz, y^2, z^2)
- D. (2xy + 2xz, -y^2, -z^2)
Câu 29: Áp dụng định lý Divergence để tính thông lượng của trường vector F(x, y, z) = (x, y, z) qua mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
- A. πR^3
- B. 2πR^3
- C. 4πR^3
- D. 8πR^3
Câu 30: Tìm khai triển Taylor của hàm số f(x) = ln(1 + x) quanh điểm x = 0 đến số hạng bậc 3.
- A. x - x^2/2 + x^3/3 + O(x^4)
- B. x + x^2/2 + x^3/3 + O(x^4)
- C. x - x^2 + x^3 + O(x^4)
- D. 1 + x - x^2/2 + x^3/3 + O(x^4)
