Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 05 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến f(x, y) = x^3y^2 + sin(xy). Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y.
- A. 6xy + ycos(xy)
- B. 6xy + cos(xy) - xy sin(xy)
- C. 3x^2y^2 + ycos(xy)
- D. 6x^2y + cos(xy) - xysin(xy)
Câu 2: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu địa phương?
- A. (0, 0)
- B. (-1, -1)
- C. (1, 1)
- D. Không có cực tiểu địa phương
Câu 3: Tính tích phân đường loại 2 ∫C (x^2y dx + xy^2 dy), với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 4: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (2x, -y, z^2). Tính div(F) tại điểm (1, 2, 3).
Câu 5: Mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), v), với 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π. Tính diện tích mặt S.
- A. π
- B. π(√2 + ln(1+√2))
- C. 2π
- D. 2π(√2 + ln(1+√2))
Câu 6: Tính tích phân bội hai ∫∫R (x^2 + y^2) dA, với R là hình tròn tâm gốc bán kính 2.
- A. 4π
- B. 8π
- C. 32π/3
- D. 16π
Câu 7: Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tìm gradient của f tại điểm (1, 0).
- A. (e, 0)
- B. (2e, 0)
- C. (0, 2e)
- D. (2e, 0)
Câu 8: Sử dụng tọa độ trụ để tính tích phân bội ba ∫∫∫E z dV, với E là miền giới hạn bởi z = √(x^2 + y^2) và z = 2.
- A. 2π
- B. 8π/3
- C. 4π
- D. 16π/3
Câu 9: Định lý Stokes liên hệ giữa đại lượng nào sau đây?
- A. Tích phân đường của trường vectơ và tích phân mặt của trường vectơ
- B. Tích phân mặt của trường vectơ và tích phân khối của trường vectơ
- C. Tích phân đường của trường vectơ và tích phân mặt của curl trường vectơ
- D. Tích phân mặt của trường vectơ và tích phân khối của div trường vectơ
Câu 10: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).
- A. 2(x - 1) + 4(y - 2) - (z - 5) = 0
- B. (x - 1) + 2(y - 2) - (z - 5) = 0
- C. 2(x - 1) - 4(y - 2) - (z - 5) = 0
- D. 2x + 4y - z = 0
Câu 11: Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính laplacian của f, Δf = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y².
- A. 4/(x^2+y^2)^2
- B. 2/(x^2+y^2)
- C. -4/(x^2+y^2)^2
- D. 0
Câu 12: Tính tích phân đường ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 2).
- A. √5
- B. 2√5
- C. 3√5/2
- D. 5√5/2
Câu 13: Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F).
- A. 0
- B. 2
- C. -2
- D. (2, 0)
Câu 14: Miền D được giới hạn bởi y = x^2 và y = 4. Tính diện tích miền D.
- A. 8/3
- B. 16/3
- C. 32/3
- D. 32/3
Câu 15: Chuỗi số ∑ ((-1)^n) / n^2 (n từ 1 đến ∞) là chuỗi gì?
- A. Hội tụ tuyệt đối
- B. Hội tụ có điều kiện
- C. Phân kỳ
- D. Không xác định được
Câu 16: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x^n) / n! (n từ 0 đến ∞).
- A. (-1, 1)
- B. (-∞, ∞)
- C. [-1, 1]
- D. {0}
Câu 17: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (2, 1) theo hướng vectơ u = (1, 1).
Câu 18: Tính thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h.
- A. πr^2h/3
- B. 2πrh
- C. 2πr^2h
- D. πr^2h
Câu 19: Định lý Divergence (Gauss) liên hệ giữa đại lượng nào?
- A. Tích phân mặt của trường vectơ và tích phân khối của divergence trường vectơ
- B. Tích phân đường của trường vectơ và tích phân mặt của curl trường vectơ
- C. Tích phân mặt của trường vectơ và tích phân khối của curl trường vectơ
- D. Tích phân đường của trường vectơ và tích phân khối của divergence trường vectơ
Câu 20: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính thông lượng (flux) của F qua mặt cầu đơn vị hướng ra ngoài.
Câu 21: Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần để hàm số f(x, y) đạt cực trị địa phương tại (x0, y0)?
- A. fxx(x0, y0) > 0 và fyy(x0, y0) > 0
- B. fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) - (fxy(x0, y0))^2 > 0
- C. ∇f(x0, y0) = (0, 0)
- D. fxx(x0, y0) < 0 và fyy(x0, y0) < 0
Câu 22: Tính tích phân lặp ∫0^1 ∫0^x (x^2 + y^2) dy dx.
- A. 1/3
- B. 1/2
- C. 2/3
- D. 7/12
Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}.
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. Không tồn tại
Câu 24: Cho trường vectơ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Điều kiện nào sau đây đảm bảo F là trường vectơ bảo toàn?
- A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
- B. ∂P/∂y + ∂Q/∂x = 0
- C. ∂Q/∂x = ∂P/∂y
- D. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 1
Câu 25: Chuỗi Taylor của hàm số e^x tại x = 0 là gì?
- A. ∑ (x^n) / n! (n từ 0 đến ∞)
- B. ∑ (x^n) / (n+1)! (n từ 0 đến ∞)
- C. ∑ ((-1)^n x^n) / n! (n từ 0 đến ∞)
- D. ∑ (x^(2n)) / (2n)! (n từ 0 đến ∞)
Câu 26: Tính tích phân mặt ∫∫S xy dS, với S là phần mặt phẳng z = 2x + 2y giới hạn bởi tam giác có đỉnh (0, 0, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2).
- A. 1/2
- B. √9/24
- C. 1
- D. √3/4
Câu 27: Cho hàm số f(x, y) = x^2 - y^2. Đường cong mức (level curve) f(x, y) = c là họ đường cong gì?
- A. Đường tròn
- B. Elip
- C. Hyperbol
- D. Parabol
Câu 28: Trong tọa độ cầu, phần tử thể tích dV được biểu diễn như thế nào?
- A. r dr dθ dz
- B. dx dy dz
- C. ρ dρ dθ dφ
- D. ρ^2 sin(φ) dρ dφ dθ
Câu 29: Áp dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫C (y dx - x dy), với C là biên của hình vuông có đỉnh (±1, ±1) theo chiều dương.
Câu 30: Xác định tính hội tụ của tích phân suy rộng ∫1^∞ (1/x^p) dx theo tham số p.
- A. Hội tụ với mọi p
- B. Hội tụ khi p > 1
- C. Hội tụ khi p < 1
- D. Luôn phân kỳ
