Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 06 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 2 & -1 \ -4 & 2 end{pmatrix}$. Xét hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Hỏi điều kiện nào của véc tơ $b = begin{pmatrix} b_1 \ b_2 end{pmatrix}$ để hệ phương trình có nghiệm?
- A. $b_1 + 2b_2 = 0$
- B. $2b_1 - b_2 = 0$
- C. $2b_1 + b_2 = 0$
- D. $b_1 - 2b_2 = 0$
Câu 2: Cho $V$ là không gian véc tơ các đa thức bậc không quá 2. Xét ánh xạ tuyến tính $T: V rightarrow V$ xác định bởi $T(p(x)) = p"(x) + p""(x)$, với $p"(x)$ và $p""(x)$ lần lượt là đạo hàm cấp nhất và cấp hai của $p(x)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc ${1, x, x^2}$ của $V$.
- A. $begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 2 end{pmatrix}$
- B. $begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
- C. $begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 2 & 2 & 0 end{pmatrix}$
- D. $begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 2 & 2 & 1 end{pmatrix}$
Câu 3: Cho không gian véc tơ $R^3$. Xét các véc tơ $v_1 = (1, 2, 3), v_2 = (2, 4, 6), v_3 = (1, 0, -1)$. Hệ véc tơ nào sau đây độc lập tuyến tính?
- A. ${v_1, v_2, v_3}$
- B. ${v_2, v_3}$
- C. ${v_1, v_2}$
- D. ${v_1, v_3}$
Câu 4: Cho ma trận $A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 4 & 5 \ 0 & 0 & 6 end{pmatrix}$. Tính định thức của ma trận $A^{-1}$.
- A. 24
- B. $frac{1}{24}$
- C. -24
- D. $frac{-1}{24}$
Câu 5: Tìm hạng của ma trận $B = begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \ 2 & 4 & 1 & 0 \ -1 & -2 & 2 & -3 end{pmatrix}$.
Câu 6: Cho không gian véc tơ $R^2$ với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ $u = (3, 4)$ lên không gian con sinh bởi véc tơ $v = (1, 1)$.
- A. $left( frac{7}{2}, frac{7}{2} right)$
- B. $left( frac{7}{5}, frac{7}{5} right)$
- C. $left( frac{3}{2}, frac{3}{2} right)$
- D. $left( frac{4}{2}, frac{4}{2} right)$
Câu 7: Cho ma trận $C = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm giá trị riêng của ma trận $C$.
- A. 1, 2
- B. 1, 3
- C. 2, 3
- D. -1, -3
Câu 8: Cho ánh xạ tuyến tính $F: R^3 rightarrow R^2$ xác định bởi $F(x, y, z) = (x+y, y-z)$. Tìm số chiều của hạt nhân (kernel) của $F$.
Câu 9: Cho ma trận $D = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính vết (trace) của ma trận $D^2$.
Câu 10: Trong không gian véc tơ $R^3$, xét cơ sở $S = {v_1 = (1, 0, 1), v_2 = (0, 1, 1), v_3 = (1, 1, 0)}$. Tìm tọa độ của véc tơ $u = (2, -1, 3)$ đối với cơ sở $S$.
- A. $(2, -1, 3)_S$
- B. $(1, 1, 1)_S$
- C. $(0, 1, -1)_S$
- D. $(3, 0, -1)_S$
Câu 11: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$, với $A$ là ma trận vuông cấp 4 và hạng của $A$ bằng 3. Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình.
Câu 12: Cho ma trận $E = begin{pmatrix} k & 1 \ 1 & k end{pmatrix}$. Tìm điều kiện của $k$ để ma trận $E$ khả nghịch.
- A. $k = 1$
- B. $k = -1$
- C. $k neq pm 1$
- D. $k = 0$
Câu 13: Cho hai không gian con $U$ và $W$ của không gian véc tơ $V$. Biết dim($U$) = 3, dim($W$) = 4, và dim($V$) = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của dim($U cap W$).
Câu 14: Cho ma trận $F = begin{pmatrix} 2 & -1 \ 4 & k end{pmatrix}$. Tìm giá trị của $k$ để các cột của $F$ phụ thuộc tuyến tính.
Câu 15: Cho $W$ là không gian con của $R^3$ sinh bởi các véc tơ $u = (1, 2, 1)$ và $v = (2, 4, 2)$. Tìm một cơ sở của $W$.
- A. ${(1, 2, 1), (2, 4, 2)}$
- B. ${(1, 2, 1), (0, 0, 0)}$
- C. ${(1, 2, 1)}$
- D. ${(2, 4, 2)}$
Câu 16: Cho ma trận $G = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$. Tính ma trận nghịch đảo $G^{-1}$.
- A. $begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix}$
- B. $begin{pmatrix} -2 & 1 \ -frac{3}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix}$
- C. $begin{pmatrix} -4 & 2 \ 3 & -1 end{pmatrix}$
- D. $begin{pmatrix} -2 & 1 \ frac{3}{2} & -frac{1}{2} end{pmatrix}$
Câu 17: Cho không gian véc tơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Xét tích vô hướng $langle p(x), q(x) rangle = int_0^1 p(x)q(x) dx$. Tính $langle x, x^2 rangle$.
- A. 1
- B. $frac{1}{3}$
- C. $frac{1}{4}$
- D. $frac{1}{5}$
Câu 18: Cho biến đổi tuyến tính $H: R^2 rightarrow R^2$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $90^circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ma trận biểu diễn của $H$ đối với cơ sở chính tắc của $R^2$.
- A. $begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
- B. $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
- C. $begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
- D. $begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$
Câu 19: Cho ma trận $J = begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 end{pmatrix}$. Tìm tất cả các giá trị riêng của $J$.
- A. 0, 2
- B. 1, 2
- C. 0, 0
- D. 2, 2
Câu 20: Cho hệ phương trình tuyến tính $x + y = 3, x - y = 1$. Giải hệ phương trình này bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.
- A. $x=2, y=1$
- B. $x=1, y=2$
- C. $x=3, y=0$
- D. $x=0, y=3$
Câu 21: Cho không gian véc tơ $R^3$. Xét tích vô hướng chính tắc. Chuẩn hóa véc tơ $v = (1, 2, 2)$.
- A. $(1, 2, 2)$
- B. $left( frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{2}{3} right)$
- C. $left( frac{1}{sqrt{5}}, frac{2}{sqrt{5}}, frac{2}{sqrt{5}} right)$
- D. $left( frac{1}{3}, frac{2}{3}, 1 right)$
Câu 22: Cho ma trận $K = begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính định thức của ma trận $K^3$.
Câu 23: Cho không gian véc tơ $R^2$. Xét tập hợp $U = {(x, y) in R^2 mid x + y = 0}$. Hỏi $U$ có phải là không gian con của $R^2$ không?
- A. Có
- B. Không
- C. Chưa xác định
- D. Không đủ thông tin
Câu 24: Cho ánh xạ tuyến tính $L: R^3 rightarrow R^3$ có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là $M = begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$. Hỏi $L$ có khả nghịch không?
- A. Khả nghịch
- B. Không khả nghịch
- C. Chưa xác định
- D. Không đủ thông tin
Câu 25: Cho ma trận $N = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm không gian cột (column space) của $N$.
- A. $R^2$
- B. Đường thẳng trong $R^2$
- C. Điểm gốc tọa độ
- D. $R^3$
Câu 26: Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Nếu hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, hỏi hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?
- A. Một nghiệm duy nhất
- B. Hai nghiệm
- C. Hữu hạn nghiệm
- D. Vô số nghiệm
Câu 27: Cho ma trận $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở $B$ sang cơ sở $C$. Nếu véc tơ $v$ có tọa độ $[v]_B$ đối với cơ sở $B$, thì tọa độ của $v$ đối với cơ sở $C$, $[v]_C$, được tính như thế nào?
- A. $[v]_C = P[v]_B$
- B. $[v]_C = P^{-1}[v]_B$
- C. $[v]_C = [v]_B P$
- D. $[v]_C = [v]_B P^{-1}$
Câu 28: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$ là $W$. Hỏi $W$ luôn chứa véc tơ nào?
- A. Véc tơ đơn vị
- B. Véc tơ pháp tuyến
- C. Véc tơ không
- D. Véc tơ riêng
Câu 29: Cho ma trận vuông $Q$ cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc $Q$ là ma trận trực giao?
- A. $det(Q) = 0$
- B. $Q^T Q = I$
- C. $Q = Q^T$
- D. $Q^2 = I$
Câu 30: Cho ma trận $R = begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $R^{100}$.
- A. $begin{pmatrix} 100 & 200 \ 0 & 100 end{pmatrix}$
- B. $begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
- C. $begin{pmatrix} 100 & 200 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
- D. $begin{pmatrix} 1 & 200 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
