Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online – Môn Toán Cho Các Nhà Kinh Tế – Đề 07

Câu hỏi kiểm tra khả năng tối ưu hóa lợi nhuận bằng cách sử dụng hàm doanh thu và hàm chi phí. Lợi nhuận (π) = Tổng doanh thu (TR) - Tổng chi phí (TC). TR = P*Q = (100 - 2Q)Q = 100Q - 2Q^2. π = (100Q - 2Q^2) - (10 + 20Q) = -2Q^2 + 80Q - 10. Để tối đa hóa lợi nhuận, ta lấy đạo hàm của π theo Q và đặt bằng 0: dπ/dQ = -4Q + 80 = 0 => Q = 20.

Câu hỏi kiểm tra việc áp dụng hàm sản xuất Cobb-Douglas. Thay K = 16 và L = 25 vào hàm sản xuất: Q(16, 25) = 5 * (16^0.5) * (25^0.5) = 5 * 4 * 5 = 100.

Câu hỏi kiểm tra tối đa hóa hữu dụng dưới ràng buộc ngân sách. Bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, có thể dùng phương pháp Lagrange. Hàm Lagrange L = x^2y - λ(10x + 20y - 100). Lấy đạo hàm riêng theo x, y, λ và đặt bằng 0. ∂L/∂x = 2xy - 10λ = 0; ∂L/∂y = x^2 - 20λ = 0; ∂L/∂λ = -(10x + 20y - 100) = 0. Từ (1) và (2), (2xy)/(x^2) = 10λ/20λ => 2y/x = 1/2 => x = 4y. Thay vào ràng buộc ngân sách: 10(4y) + 20y = 100 => 60y = 100 => y = 100/60 = 5/3. x = 4 * (5/3) = 20/3 ≈ 6.67. Vì số lượng hàng hóa phải là số nguyên hoặc số thực dương, ta xem xét các giá trị gần nhất. Tuy nhiên, kiểm tra lại tỉ lệ MRS = Px/Py => (∂U/∂x)/(∂U/∂y) = (2xy)/(x^2) = 2y/x = 10/20 = 1/2 => x = 4y. Thay vào ngân sách: 10x + 20y = 100 => 10(4y) + 20y = 100 => 60y = 100 => y = 5/3, x = 20/3.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về độ co giãn của cầu theo giá. PED đo lường mức độ phản ứng của lượng cầu khi giá thay đổi. Cụ thể là phần trăm thay đổi trong lượng cầu chia cho phần trăm thay đổi trong giá.

Câu hỏi kiểm tra tìm cực trị địa phương. Tính đạo hàm bậc nhất: f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 12x = 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x-1)^2. Điểm dừng: f'(x) = 0 => x = 0 hoặc x = 1. Tính đạo hàm bậc hai: f''(x) = 36x^2 - 48x + 12. Tại x = 0: f''(0) = 12 > 0 => cực tiểu địa phương. Tại x = 1: f''(1) = 36 - 48 + 12 = 0 => cần kiểm tra thêm (hoặc xét dấu f'(x) xung quanh x=1). Xét dấu f'(x) xung quanh x=1: với x < 1 (nhưng gần 1), ví dụ x = 0.9, f'(0.9) = 12 * 0.9 * (0.9-1)^2 > 0; với x > 1 (nhưng gần 1), ví dụ x = 1.1, f'(1.1) = 12 * 1.1 * (1.1-1)^2 > 0. Vì f'(x) không đổi dấu quanh x=1, x=1 không phải cực trị. Vậy chỉ có cực tiểu địa phương tại x = 0.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến. Đặt u = x^2 + 3x, du = (2x + 3)dx. Khi đó tích phân trở thành ∫e^u du = e^u + C = e^(x^2 + 3x) + C.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về định thức của ma trận 2x2. det(A) = (2 * 3) - (1 * 4) = 6 - 4 = 2.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm về hàm lồi. Hàm lồi là hàm mà đạo hàm bậc hai không âm (f''(x) ≥ 0). Xét từng đáp án: 1) f''(x) = 2 > 0 (lồi); 2) f''(x) = -2 < 0 (lõm); 3) f''(x) = 0 (vừa lồi vừa lõm); 4) f''(x) = -cos(x) (không lồi trên toàn miền xác định).

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về mô hình IS-LM. Đường IS (Investment-Saving) biểu diễn trạng thái cân bằng trên thị trường hàng hóa, nơi tổng đầu tư bằng tổng tiết kiệm.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm hữu dụng biên và quy luật hữu dụng biên giảm dần. Đặt MUx = 0 và giải phương trình: 10 - 2x = 0 => 2x = 10 => x = 5.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính vi phân toàn phần. dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy. ∂f/∂x = 3x^2y^2 + 5; ∂f/∂y = 2x^3y - 3. Vậy dz = (3x^2y^2 + 5)dx + (2x^3y - 3)dy.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm số nhân tiền tệ. Số nhân tiền tệ = 1 / tỷ lệ dự trữ bắt buộc = 1 / 0.1 = 10. Lượng tiền tệ tối đa tạo ra = Số nhân tiền tệ * Khoản tiền gửi ban đầu = 10 * 1000$ = 10000$.

Câu hỏi kiểm tra quy tắc đạo hàm của hàm logarit hợp. Sử dụng quy tắc chuỗi: (ln(u))' = u'/u, với u = x^2 + 1, u' = 2x. Vậy y' = (2x) / (x^2 + 1).

Câu hỏi kiểm tra khái niệm và ứng dụng của NPV. NPV là công cụ để đánh giá tính khả thi của dự án đầu tư bằng cách chiết khấu dòng tiền tương lai về giá trị hiện tại và so sánh với chi phí đầu tư ban đầu.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính 2 ẩn. Cộng hai phương trình: (x + y) + (x - y) = 5 + 1 => 2x = 6 => x = 3. Thay x = 3 vào phương trình thứ nhất: 3 + y = 5 => y = 2. Nghiệm là (x, y) = (3, 2).

Câu hỏi kiểm tra khái niệm Nash equilibrium. Nash equilibrium là trạng thái mà trong đó không người chơi nào có thể cải thiện kết quả của mình bằng cách thay đổi chiến lược đơn phương, giả định rằng các người chơi khác giữ nguyên chiến lược.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm riêng. Khi tính đạo hàm riêng theo x, coi y là hằng số. ∂f/∂x = ∂(x^2y^3)/∂x + ∂(e^(xy))/∂x = 2xy^3 + e^(xy) * y = 2xy^3 + ye^(xy).

Câu hỏi kiểm tra khái niệm chi phí biên. MC là đạo hàm của TC theo Q. MC(Q) = dTC/dQ = 3Q^2 - 24Q + 60. Tại Q = 10, MC(10) = 3(10)^2 - 24(10) + 60 = 300 - 240 + 60 = 120.

Câu hỏi kiểm tra vai trò của tỷ lệ chiết khấu trong phân tích lợi ích - chi phí. Tỷ lệ chiết khấu phản ánh giá trị thời gian của tiền, được sử dụng để quy đổi giá trị tương lai của lợi ích và chi phí về giá trị hiện tại để so sánh.

Câu hỏi kiểm tra xác định giá cân bằng thị trường. Giá cân bằng xảy ra khi Qs = Qd. 2P - 5 = 20 - 3P => 5P = 25 => P = 5.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính tích phân xác định. ∫x^2 dx = (x^3)/3 + C. ∫[0, 1] x^2 dx = [(1^3)/3] - [(0^3)/3] = 1/3 - 0 = 1/3.

Câu hỏi kiểm tra tìm điểm uốn. Tính đạo hàm bậc hai: f'(x) = -3x^2 + 6x - 2; f''(x) = -6x + 6. Điểm uốn xảy ra khi f''(x) = 0 hoặc f''(x) không xác định và f''(x) đổi dấu tại điểm đó. -6x + 6 = 0 => x = 1. Kiểm tra dấu f''(x) xung quanh x = 1: với x < 1, f''(x) > 0; với x > 1, f''(x) < 0. Vì f''(x) đổi dấu tại x = 1, x = 1 là điểm uốn. Vậy có 1 điểm uốn.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về mô hình tăng trưởng Solow. Trong mô hình Solow, tiến bộ công nghệ (hay năng suất lao động) được coi là động lực tăng trưởng dài hạn, vì nó giúp nền kinh tế vượt qua trạng thái dừng.

Câu hỏi kiểm tra tính độ co giãn của cầu theo giá tại một điểm. PED = (dQ/dP) * (P/Q). dQ/dP = -2. Tại P = 20, Q = 100 - 2(20) = 60. PED = (-2) * (20/60) = -40/60 = -2/3 ≈ -0.67. Giá trị tuyệt đối là 2/3.

Câu hỏi kiểm tra tìm điểm dừng của hàm nhiều biến. Điểm dừng là điểm mà tại đó đạo hàm riêng bằng 0. ∂f/∂x = 2x - 2y - 4 = 0; ∂f/∂y = 2y - 2x + 4 = 0. Từ phương trình thứ nhất: 2x - 2y = 4 => x - y = 2 => x = y + 2. Thay vào phương trình thứ hai: 2y - 2(y + 2) + 4 = 0 => 2y - 2y - 4 + 4 = 0 => 0 = 0. Phương trình thứ hai phụ thuộc vào phương trình thứ nhất. Từ x - y = 2, ta có vô số nghiệm dạng (y+2, y). Tuy nhiên, xem xét lại phương trình: 2y - 2x + 4 = 0 => -2x + 2y = -4 => x - y = 2. Hai phương trình thực chất là một. Chọn một điểm thỏa mãn x - y = 2, ví dụ y = 0 => x = 2. Điểm dừng có dạng (2, 0) hoặc tổng quát là (y+2, y). Kiểm tra lại các đáp án, nếu đáp án là một điểm cụ thể, có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án. Xem xét lại tính toán: 2x - 2y - 4 = 0 và 2y - 2x + 4 = 0 là hai phương trình tương đương x - y = 2. Nếu đề bài hỏi một điểm dừng *cụ thể*, có thể cần thêm thông tin hoặc có lỗi. Tuy nhiên, trong các đáp án chỉ có một điểm duy nhất, có thể đề bài muốn hỏi *một trong các* điểm dừng và có lẽ đáp án được chọn thỏa mãn x - y = 2. Kiểm tra (2,0): 2 - 0 = 2. Thỏa mãn.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm R-squared trong kinh tế lượng. R-squared đo lường tỷ lệ phần trăm phương sai của biến phụ thuộc được giải thích bởi mô hình hồi quy.

Câu hỏi kiểm tra xác định khoảng nghịch biến. Tính đạo hàm: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3). Hàm số nghịch biến khi f'(x) < 0. 3(x-1)(x-3) < 0 => (x-1)(x-3) < 0 => 1 < x < 3. Khoảng nghịch biến là (1, 3).

Câu hỏi kiểm tra tính tích phân suy rộng. ∫(1/x^3) dx = ∫x^(-3) dx = (x^(-2))/(-2) + C = -1/(2x^2) + C. ∫[1, +∞) (1/x^3) dx = lim_(b→+∞) [-1/(2x^2)]_[1, b] = lim_(b→+∞) [-1/(2b^2) - (-1/(2*1^2))] = 0 - (-1/2) = 1/2.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hiệu quả của chính sách tài khóa trong mô hình Keynesian. Chính sách tài khóa (ví dụ: tăng chi tiêu chính phủ) hiệu quả nhất khi nền kinh tế đang ở trạng thái suy thoái hoặc có sản lượng thấp hơn tiềm năng, khi đó có nhiều nguồn lực nhàn rỗi.

Câu hỏi kiểm tra quy tắc đạo hàm của tích hai hàm số. (uv)' = u'v + uv'. u = e^(2x), u' = 2e^(2x); v = sin(x), v' = cos(x). y' = (2e^(2x))sin(x) + e^(2x)cos(x) = e^(2x)(2sin(x) + cos(x)).