Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 09 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3x. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y.
- A. 3x^2 - 4y
- B. 3x^2 - 4y
- C. 6xy - 4y
- D. 6y - 4x
Câu 2: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xe^y sin(z) tại điểm (0, ln(2), π/2).
- A. <1, 0, 0>
- B. <1, 1, 0>
- C. <2, 2, 0>
- D. <0, 2, 2>
Câu 3: Tính tích phân đường ∫C (x^2 + y^2) ds, với C là đoạn đường thẳng từ (0, 0) đến (3, 4).
Câu 4: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (n=1 đến ∞) (x-2)^n / n^2.
- A. [1, 3]
- B. (1, 3)
- C. [0, 4]
- D. (0, 4)
Câu 5: Cho trường vector F(x, y) = . Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để trường vector F là trường bảo toàn trên miền D liên thông?
- A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y
- B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x
- C. P(x, y) = Q(x, y)
- D. ∂P/∂x + ∂Q/∂y = 0
Câu 6: Tính tích phân bội hai ∫∫R (x + 2y) dA, với R là miền tam giác giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y = 2x, và x = 1.
Câu 7: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân bội hai ∫∫D e^(x^2+y^2) dA, với D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ 4.
- A. π(e^4 - 1)
- B. 2π(e^2 - 1)
- C. π(e^2 - 1)
- D. π/2 (e^4 - 1)
Câu 8: Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5. Tìm điểm cực tiểu địa phương của hàm số.
- A. (0, 0)
- B. (1, 2)
- C. (2, 1)
- D. Không có cực tiểu địa phương
Câu 9: Tính divergence của trường vector F(x, y, z) = .
- A. 2xz - x + 2yz
- B. 2x + y + 2z
- C. 2xz + 2yz
- D. 2x - y + 2z
Câu 10: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫C (y^2 dx + x dy), với C là biên của hình tròn x^2 + y^2 ≤ 1, ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số: y"" - 3y" + 2y = 0.
- A. y = C1e^x + C2e^(2x)
- B. y = C1e^(-x) + C2e^(-2x)
- C. y = (C1 + C2x)e^x
- D. y = C1e^x + C2e^(2x)
Câu 12: Cho hàm số f(x, y) = xy / (x^2 + y^2) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số f có liên tục tại (0, 0) không?
- A. Liên tục
- B. Không liên tục
- C. Liên tục riêng theo x nhưng không theo y
- D. Liên tục riêng theo y nhưng không theo x
Câu 13: Tính curl của trường vector F(x, y, z) = .
- A. <0, 0, 0>
- B. <1, 1, 1>
- C.
- D.
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - xy trên miền D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Câu 15: Tính tích phân mặt ∫∫S F · dS, với F = và S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = 1, hướng ra ngoài.
Câu 16: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm nào sau đây là điểm dừng của hàm số?
- A. (1, -1)
- B. (1, 1)
- C. (-1, 1)
- D. (-1, -1)
Câu 17: Tính tích phân đường loại hai ∫C (x dy - y dx) với C là đường tròn x^2 + y^2 = 4, theo chiều kim đồng hồ.
Câu 18: Chuyển tích phân bội ba ∫∫∫E f(x, y, z) dV sang tọa độ trụ, với E là hình trụ x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2.
- A. ∫(0 đến 2π) ∫(0 đến 1) ∫(0 đến 2) f(r cosθ, r sinθ, z) r dz dr dθ
- B. ∫(0 đến 2) ∫(0 đến 1) ∫(0 đến 2π) f(r cosθ, r sinθ, z) r dθ dr dz
- C. ∫(0 đến π) ∫(0 đến 2π) ∫(0 đến 1) f(r cosθ, r sinθ, z) r dr dθ dz
- D. ∫(0 đến 2π) ∫(0 đến 2) ∫(0 đến 1) f(r cosθ, r sinθ, z) r dr dz dθ
Câu 19: Định lý Stokes liên hệ giữa tích phân nào với tích phân nào?
- A. Tích phân đường và tích phân bội hai
- B. Tích phân đường và tích phân mặt
- C. Tích phân mặt và tích phân bội ba
- D. Tích phân bội hai và tích phân bội ba
Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính đạo hàm riêng ∂f/∂x tại điểm (1, 1).
Câu 21: Tính diện tích mặt S được tham số hóa bởi r(u, v) = với 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
- A. √6 / 6 (5√5 - 1)
- B. √5 / 6 (5√5 - 1)
- C. √5 / 12 (5√5 - 1)
- D. √6 / 12 (5√5 - 1)
Câu 22: Tìm tiếp diện của mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).
- A. 2x + 4y - z = 5
- B. 2x + 4y - z = 5
- C. x + 2y - z = 0
- D. x + 2y + z = 8
Câu 23: Cho trường vector F(x, y, z) = <-y, x, z>. Tính thông lượng (flux) của F qua mặt S là hình trụ x^2 + y^2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1, bao gồm cả đáy và nắp, hướng ra ngoài.
Câu 24: Tìm khai triển Taylor bậc 2 của hàm số f(x, y) = sin(x)cos(y) tại điểm (0, 0).
- A. 1 + x - y + ...
- B. x - y + ...
- C. 1 + xy + ...
- D. xy + ...
Câu 25: Trong tọa độ cầu, Jacobian của phép biến đổi là gì?
- A. r
- B. r^2
- C. ρ^2 sin(φ)
- D. ρ sin(φ)
Câu 26: Cho trường vector F(x, y) = . Tính công của trường vector F dọc theo đường cong C: r(t) = , 0 ≤ t ≤ π/2.
Câu 27: Tìm vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) = x^2y + ye^x.
- A. (2xy + ye^x)dx + (x^2 + e^x)dy
- B. (2xy + e^x)dx + (x^2 + ye^x)dy
- C. (x^2 + ye^x)dx + (2xy + ye^x)dy
- D. (2xy)dx + (e^x)dy
Câu 28: Áp dụng định lý Divergence để tính ∫∫S F · dS, với F = và S là mặt cầu x^2 + y^2 + z^2 = a^2, hướng ra ngoài.
- A. 0
- B. πa^5
- C. 2πa^5
- D. 4πa^5
Câu 29: Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính Laplace của f.
- A. 0
- B. 2 / (x^2 + y^2)
- C. 0
- D. 4 / (x^2 + y^2)^2
Câu 30: Trong bài toán tối ưu hóa có ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange, nhân tử Lagrange λ biểu diễn điều gì?
- A. Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu
- B. Độ nhạy của giá trị tối ưu đối với sự thay đổi ràng buộc
- C. Hệ số của biến trong hàm mục tiêu
- D. Sai số của phương pháp Lagrange
