Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 10 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = xy^2 + 3x^2y - 5x + 2. Tính đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp ∂^2z/∂x∂y.
- A. 2y + 6x
- B. 2y + 6x + 6xy
- C. 4y + 6x
- D. 2y + 3x^2
Câu 2: Tìm miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x^2 - y^2) + ln(x + y).
- A. x^2 + y^2 ≤ 9
- B. x + y > 0
- C. x^2 + y^2 ≤ 9 và x + y > 0
- D. x^2 + y^2 < 9 hoặc x + y > 0
Câu 3: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
- A. (0, 0)
- B. (1, 1)
- C. (0, 0) và (-1, -1)
- D. (0, 0) và (1, 1)
Câu 4: Tính tích phân lặp ∫[0, 1]∫[y, 1] xy dx dy.
- A. 1/8
- B. 1/4
- C. 1/2
- D. 1
Câu 5: Chuyển tích phân ∫∫[D] (x^2 + y^2) dA sang tọa độ cực, với D là hình tròn tâm gốc bán kính 2.
- A. ∫[0, 2π]∫[0, 2] r^2 dr dθ
- B. ∫[0, 2π]∫[0, 2] r^3 dr dθ
- C. ∫[0, π]∫[0, 2] r^3 dr dθ
- D. ∫[0, 2π]∫[0, 2] r dr dθ
Câu 6: Cho trường vectơ F(x, y) = (2xy, x^2 + 3y^2). Tính div(F).
- A. 2x + 6y
- B. 2y + 2x
- C. 2y + 6y
- D. 2x + 2x
Câu 7: Tính tích phân đường loại 2 ∫[C] (x^2 dy - y dx), với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 8: Xác định tính hội tụ của chuỗi số ∑[n=1, ∞] (n^2 + 1) / (2^n).
- A. Hội tụ
- B. Phân kỳ
- C. Chưa kết luận được
- D. Dao động
Câu 9: Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (x^n) / (n!).
- A. R = 0
- B. R = 1
- C. R = ∞
- D. R = e
Câu 10: Tính grad(f) của hàm số f(x, y, z) = x^2yz + xy^2z + xyz^2.
- A. (2xyz + y^2z + yz^2, x^2z + 2xyz + xz^2, x^2y + xy^2 + 2xyz)
- B. (2xyz + y^2z + yz^2)i + (x^2z + 2xyz + xz^2)j + (x^2y + xy^2 + 2xyz)k
- C. (2x + 2y + 2z, 2x + 2y + 2z, 2x + 2y + 2z)
- D. (2x + y^2 + z, x^2 + 2y + z, x^2 + y^2 + 2z)
Câu 11: Cho hàm số f(x,y) = e^(x^2 + y^2). Tìm vi phân toàn phần df.
- A. df = 2xe^(x^2 + y^2)dx + 2ye^(x^2 + y^2)dy
- B. df = e^(x^2 + y^2)dx + e^(x^2 + y^2)dy
- C. df = 2xdx + 2ydy
- D. df = e^(2x)dx + e^(2y)dy
Câu 12: Tính diện tích mặt phẳng được giới hạn bởi đường cong r = 2cos(θ) trong tọa độ cực.
Câu 13: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 + xy - 3x - 3y + 5.
- A. Cực đại tại (1, 1)
- B. Cực tiểu tại (-1, -1)
- C. Cực tiểu tại (1, 1)
- D. Không có cực trị địa phương
Câu 14: Tính curl(F) của trường vectơ F(x, y, z) = (y^2, 2xz, -y).
- A. (0, 0, 0)
- B. (-1, 2x, 2y)
- C. (1, -2x, -2y)
- D. (-1, -2x, 0)
Câu 15: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫[C] (y^2 dx + x dy) với C là biên của hình vuông [0, 1]x[0, 1] ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 16: Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) = x^2y tại điểm (2, 1) theo hướng vectơ v = (1, 1).
- A. 4/√2
- B. 5/√2
- C. 6/√2
- D. 8/√2
Câu 17: Tính tích phân mặt ∫∫[S] z dS, với S là phần mặt nón z = √(x^2 + y^2) nằm trong hình trụ x^2 + y^2 ≤ 1.
- A. π/2
- B. π
- C. 2π√2 / 3
- D. π√2
Câu 18: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=1, ∞] ((x - 2)^n) / n.
- A. (-1, 1)
- B. [1, 3)
- C. (1, 3]
- D. [1, 3)
Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0}.
Câu 20: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính thông lượng (flux) của F qua mặt cầu đơn vị hướng ra ngoài.
Câu 21: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).
- A. z - 5 = (x - 1) + 2(y - 2)
- B. z - 5 = 2(x - 1) + (y - 2)
- C. z = x + 2y + 2
- D. z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)
Câu 22: Tính tích phân bội ba ∫∫∫[V] dV, với V là hình hộp chữ nhật [0, 1]x[0, 2]x[0, 3].
Câu 23: Cho hàm số f(x, y) = sin(xy). Tính đạo hàm riêng ∂f/∂x.
- A. cos(xy)
- B. ycos(xy)
- C. xcos(xy)
- D. -ycos(xy)
Câu 24: Sử dụng tọa độ trụ để tính thể tích của vật thể giới hạn bởi z = 0, z = 4 - y, và x^2 + y^2 = 4.
- A. 8π
- B. 16π
- C. 16π/3
- D. 32π/3
Câu 25: Xác định tính hội tụ của tích phân suy rộng ∫[1, ∞] (1 / x^p) dx theo tham số p.
- A. Hội tụ với mọi p
- B. Hội tụ với p < 1
- C. Hội tụ với p ≤ 1
- D. Hội tụ với p > 1
Câu 26: Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính công của F dọc theo đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 27: Tính xấp xỉ tuyến tính của hàm số f(x, y) = √(x^2 + y^2) tại điểm (3, 4) và sử dụng để ước lượng f(3.02, 3.98).
- A. 4.98
- B. 5.0
- C. 4.996
- D. 5.004
Câu 28: Tìm chuỗi Taylor của hàm số f(x) = ln(1 + x) tại x = 0.
- A. ∑[n=0, ∞] (x^n) / n!
- B. ∑[n=1, ∞] (x^n) / n
- C. ∑[n=0, ∞] (-1)^n (x^n) / n!
- D. ∑[n=1, ∞] (-1)^(n-1) (x^n) / n
Câu 29: Cho hàm số f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?
- A. Không liên tục
- B. Liên tục
- C. Chỉ liên tục theo x
- D. Chỉ liên tục theo y
Câu 30: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Stokes?
- A. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vectơ dọc theo một đường cong kín với tích phân thể tích của curl của trường vectơ trên miền bị giới hạn bởi đường cong đó.
- B. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường của một trường vectơ dọc theo một đường cong kín với tích phân mặt của curl của trường vectơ trên mặt giới hạn bởi đường cong đó.
- C. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt của một trường vectơ với tích phân thể tích của divergence của trường vectơ.
- D. Định lý Stokes chỉ áp dụng cho trường vectơ bảo toàn.
