Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số - Đề 02 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về định thức của ma trận là **sai**?
- A. det(A^T) = det(A), với A^T là ma trận chuyển vị của A.
- B. det(kA) = k^n det(A), với k là một hằng số và n là cấp của ma trận A.
- C. det(A + B) = det(A) + det(B), với A và B là ma trận vuông cùng cấp.
- D. Nếu det(A) ≠ 0 thì ma trận A khả nghịch.
Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông cấp n. Điều kiện nào sau đây là **đủ** để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (khác nghiệm zero)?
- A. det(A) ≠ 0
- B. det(A) = 0
- C. Hạng của ma trận A là n (R(A) = n)
- D. Ma trận A khả nghịch
Câu 3: Cho không gian vectơ V là tập hợp tất cả các đa thức bậc không quá 2. Xét các vectơ (đa thức) sau trong V: p1(x) = 1 + x, p2(x) = x - x^2, p3(x) = 1 + x^2. Hệ vectơ {p1, p2, p3} có độc lập tuyến tính không? Giải thích.
- A. Độc lập tuyến tính, vì không có tổ hợp tuyến tính nào của chúng bằng vectơ zero trừ khi tất cả hệ số bằng 0.
- B. Không độc lập tuyến tính, vì tồn tại tổ hợp tuyến tính không tầm thường của chúng bằng vectơ zero (ví dụ: p1(x) + p2(x) - p3(x) = 0).
- C. Độc lập tuyến tính, vì số lượng vectơ bằng với số chiều của không gian V.
- D. Không độc lập tuyến tính, vì các đa thức này có bậc khác nhau.
Câu 4: Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, 2, -1) và v = (0, -1, 3). Tính tích có hướng (cross product) u × v.
- A. (5, -3, -1)
- B. (-5, 3, 1)
- C. (7, -3, -1)
- D. (5, -3, -1)
Câu 5: Cho số phức z = 2 - 3i. Tìm số phức liên hợp của z (ký hiệu là z ngang).
- A. 2 + 3i
- B. -2 - 3i
- C. -2 + 3i
- D. 2 - 3i
Câu 6: Biểu diễn số phức z = 1 + √3i dưới dạng lượng giác.
- A. 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
- B. 2(cos(π/3) - i sin(π/3))
- C. 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
- D. 4(cos(π/3) + i sin(π/3))
Câu 7: Giải phương trình z^2 + 4 = 0 trong tập số phức.
- A. z = ±2
- B. z = ±2i
- C. z = 2 ± i
- D. z = -2 ± i
Câu 8: Cho ma trận A = [[2, 1], [4, 3]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1) (nếu có).
- A. [[3, -1], [-4, 2]]
- B. [[1.5, -0.5], [-2, 1]]
- C. Không tồn tại ma trận nghịch đảo
- D. [[1.5, -0.5], [-2, 1]]
Câu 9: Xét hệ phương trình tuyến tính sau:
x + y = 3
2x - y = 0
Tìm nghiệm của hệ phương trình.
- A. x = 1, y = 2
- B. x = 2, y = 1
- C. x = 3, y = 0
- D. Hệ phương trình vô nghiệm
Câu 10: Cho không gian vectơ V = R^3. Xét tập con W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0}. Hỏi W có phải là không gian con của V không? Giải thích.
- A. W là không gian con, vì nó thỏa mãn các tiên đề không gian con (chứa vectơ zero và đóng với phép cộng và phép nhân với vô hướng).
- B. W không phải là không gian con, vì nó không chứa vectơ zero.
- C. W không phải là không gian con, vì nó không đóng với phép cộng vectơ.
- D. W không phải là không gian con, vì nó không đóng với phép nhân vectơ với vô hướng.
Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief, cho ma trận hệ số đầu vào A = [[0.2, 0.3], [0.4, 0.1]]. Ma trận Leontief (I - A) là ma trận nào?
- A. [[0.8, 0.3], [0.4, 0.9]]
- B. [[0.8, -0.3], [-0.4, 0.9]]
- C. [[1.2, 1.3], [1.4, 1.1]]
- D. [[-0.2, -0.3], [-0.4, -0.1]]
Câu 12: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Tìm hạng của ma trận A (R(A)).
- A. 2
- B. 0
- C. 1
- D. Không xác định
Câu 13: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^2 xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của R^2.
- A. [[1, -1], [2, 1]]
- B. [[2, -1], [1, 1]]
- C. [[2, 1], [-1, 1]]
- D. [[2, 1], [1, -1]]
Câu 14: Cho không gian vectơ V và W là các không gian con của V. Hỏi giao của W và W" (W ∩ W") có phải là không gian con của V không? Giải thích.
- A. Có, W ∩ W" luôn là không gian con của V.
- B. Không, W ∩ W" không phải lúc nào cũng là không gian con của V.
- C. Chỉ khi W = W" thì W ∩ W" mới là không gian con của V.
- D. Không thể xác định nếu không biết cụ thể W và W".
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để định thức của ma trận A = [[m, 1], [2, m]] bằng 0.
- A. m = 2
- B. m = ±√2
- C. m = 0
- D. Không có giá trị m nào
Câu 16: Cho số phức z = -1 + i. Tính z^4.
Câu 17: Trong không gian R^3, cho mặt phẳng (P) có phương trình x - 2y + z = 0. Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- A. (1, -2, 1)
- B. (1, 2, -1)
- C. (-1, 2, 1)
- D. (2, -1, 1)
Câu 18: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất, thì hạng của ma trận hệ số A (R(A)) và hạng của ma trận mở rộng [A|B] (R([A|B])) phải thỏa mãn điều kiện gì?
- A. R(A) < R([A|B])
- B. R(A) > R([A|B])
- C. R(A) = R([A|B]) = số ẩn
- D. R(A) = R([A|B]) < số ẩn
Câu 19: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu λ là một trị riêng của A, thì λ^2 là trị riêng của ma trận nào sau đây?
- A. 2A
- B. A^2
- C. A + I (I là ma trận đơn vị)
- D. A^(-1) (nếu A khả nghịch)
Câu 20: Tìm số nghiệm của phương trình |z| = z + 1 + i trong tập số phức.
- A. 0 nghiệm
- B. 2 nghiệm
- C. 1 nghiệm
- D. Vô số nghiệm
Câu 21: Cho không gian vectơ V = R^3. Tìm số chiều của không gian con W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x - y = 0 và y + z = 0}.
Câu 22: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^3 → R^2 xác định bởi f(x, y, z) = (x + y, y - z). Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính f (rank(f)).
Câu 23: Cho ma trận A = [[3, -1], [2, 4]]. Tính vết của ma trận A (tr(A)).
Câu 24: Trong không gian R^2, phép biến đổi tuyến tính nào sau đây là phép quay một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ?
- A. [[1, 0], [0, 1]]
- B. [[0, 1], [1, 0]]
- C. [[0, -1], [1, 0]]
- D. [[-1, 0], [0, -1]]
Câu 25: Cho số phức z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)). Tính z^3 dưới dạng lượng giác.
- A. 8(cos(π/4) + i sin(π/4))
- B. 6(cos(3π/4) + i sin(3π/4))
- C. 8(cos(π/64) + i sin(π/64))
- D. 8(cos(3π/4) + i sin(3π/4))
Câu 26: Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của không gian vectơ R^2?
- A. {(1, 2), (2, 4)}
- B. {(1, 0), (0, 1)}
- C. {(1, 1), (1, 1)}
- D. {(0, 0), (1, 0)}
Câu 27: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây về trị riêng của ma trận là **đúng**?
- A. Tổng các trị riêng của ma trận A bằng vết của ma trận A (tr(A)).
- B. Tích các trị riêng của ma trận A bằng hạng của ma trận A (R(A)).
- C. Trị riêng của ma trận A luôn là số thực.
- D. Ma trận A luôn có n trị riêng phân biệt.
Câu 28: Tìm phần ảo của số phức z = (2 + i) / (1 - i).
- A. 3/2
- B. 1/2
- C. 3/2
- D. -1/2
Câu 29: Trong không gian R^3, cho hai đường thẳng d1 và d2. Điều kiện nào sau đây để d1 và d2 song song?
- A. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 vuông góc với nhau.
- B. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 cùng phương và có điểm chung.
- C. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 vuông góc và có điểm chung.
- D. Vectơ chỉ phương của d1 và d2 cùng phương và không có điểm chung hoặc trùng nhau.
Câu 30: Cho ma trận A = [[1, -1, 2], [0, 3, -1], [0, 0, 2]]. Tính định thức của ma trận A.
