Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 01 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận vuông A và B cùng cấp n có định thức lần lượt là det(A) = 2 và det(B) = 3. Tính định thức của ma trận tích 3AB.
- A. 6
- B. 18
- C. 54
- D. 162 (với n=3)
Câu 2: Cho A là ma trận vuông cấp 4 có hạng (rank) bằng 4. Phát biểu nào sau đây về hệ phương trình tuyến tính AX = 0 là đúng?
- A. Hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường.
- B. Hệ có vô số nghiệm.
- C. Hệ vô nghiệm.
- D. Không thể kết luận về số nghiệm của hệ.
Câu 3: Cho V là không gian vectơ con của R^3 sinh bởi hệ vectơ S = {(1, 2, 1), (2, 4, 2), (0, 1, 1)}. Tìm một cơ sở của V và số chiều của V.
- A. Cơ sở: {(1, 2, 1), (0, 1, 1)}; chiều: 3
- B. Cơ sở: {(1, 2, 1), (2, 4, 2), (0, 1, 1)}; chiều: 3
- C. Cơ sở: {(1, 2, 1), (0, 1, 1)}; chiều: 2
- D. Cơ sở: {(1, 2, 1)}; chiều: 1
Câu 4: Xét ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^3 xác định bởi f(x, y) = (x + y, 2x - y, y). Tìm ma trận biểu diễn của f đối với cơ sở chính tắc của R^2 và R^3.
- A. [[1, 1, 0], [2, -1, 1]]
- B. [[1, 2, 0], [1, -1, 1]]
- C. [[1, 1], [2, -1], [0, 1]]
- D. [[1, 0], [2, 0], [0, 1]]
Câu 5: Cho ma trận A = [[2, -1], [-1, 2]]. Tìm các giá trị riêng của ma trận A.
- A. λ = 1
- B. λ = 2
- C. λ = 1, λ = 2
- D. λ = 1, λ = 3
Câu 6: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (1, 2, 3) lên không gian con W = span{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.
- A. (1, 2, 0)
- B. (0, 0, 3)
- C. (1, 0, 0)
- D. (0, 2, 0)
Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính sau:
x + 2y = 5
2x + 4y = 10
Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm?
- A. Một nghiệm duy nhất
- B. Vô số nghiệm
- C. Vô nghiệm
- D. Không thể xác định
Câu 8: Cho ma trận A = [[1, -1], [2, 1]]. Tìm ma trận nghịch đảo A^(-1).
- A. [[1, 1], [-2, 1]]
- B. [[1/3, 1/3], [-2/3, 1/3]]
- C. [[1/3, 1/3], [-2/3, 1/3]]
- D. Không tồn tại ma trận nghịch đảo
Câu 9: Cho không gian vectơ P2[x] là không gian các đa thức bậc không quá 2. Xét tập hợp B = {1, x, x^2}. Chứng minh B là một cơ sở của P2[x].
- A. B là cơ sở vì B là hệ sinh và độc lập tuyến tính của P2[x].
- B. B không là cơ sở vì B không phải là hệ sinh của P2[x].
- C. B không là cơ sở vì B phụ thuộc tuyến tính.
- D. B là cơ sở vì B có số vectơ bằng số chiều của P2[x].
Câu 10: Cho ánh xạ tuyến tính T: R^2 → R^2 xác định bởi phép quay quanh gốc tọa độ một góc 90 độ ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc.
- A. [[0, 1], [1, 0]]
- B. [[-1, 0], [0, -1]]
- C. [[0, -1], [1, 0]]
- D. [[1, 0], [0, 1]]
Câu 11: Cho ma trận A = [[3, 0], [0, 3]]. Ma trận này có chéo hóa được không? Nếu có, hãy tìm ma trận chéo hóa.
- A. Không chéo hóa được.
- B. Chéo hóa được, ma trận chéo hóa là [[1, 0], [0, 1]].
- C. Chéo hóa được, ma trận chéo hóa là [[3, 0], [0, 3]].
- D. Chéo hóa được, ma trận chéo hóa là [[0, 3], [3, 0]].
Câu 12: Cho không gian vectơ R^3 và hai vectơ u = (1, 2, -1), v = (0, 1, 2). Tính tích có hướng u x v.
- A. (5, -2, 1)
- B. (-5, 2, -1)
- C. (3, -2, 1)
- D. (5, -2, 1)
Câu 13: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Tìm không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0.
- A. {(0, 0)}
- B. {t(-2, 1) | t ∈ R}
- C. {t(1, 2) | t ∈ R}
- D. R^2
Câu 14: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là tương đương với việc A khả nghịch?
- A. det(A) = 0
- B. Hạng của A nhỏ hơn n
- C. det(A) ≠ 0
- D. Hệ phương trình AX = 0 có vô số nghiệm
Câu 15: Cho không gian vectơ con W = span{(1, 1, 0), (0, 1, 1)} của R^3. Tìm một vectơ trực giao với W.
- A. (1, 1, 0)
- B. (0, 1, 1)
- C. (1, -1, 1)
- D. (1, -1, 1)
Câu 16: Cho ma trận A = [[2, 1], [1, 2]]. Tìm ma trận P khả nghịch và ma trận đường chéo D sao cho A = PDP^(-1).
- A. P = [[1, 1], [1, -1]], D = [[3, 0], [0, 1]]
- B. P = [[1, 0], [0, 1]], D = [[2, 1], [1, 2]]
- C. P = [[1, -1], [1, 1]], D = [[1, 0], [0, 3]]
- D. Không chéo hóa được.
Câu 17: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = b. Điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm là gì?
- A. Ma trận A khả nghịch.
- B. Hạng của ma trận hệ số A bằng hạng của ma trận bổ sung [A|b].
- C. Định thức của A khác 0.
- D. Vectơ b là tổ hợp tuyến tính của các cột của A.
Câu 18: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^3 → R^2 xác định bởi f(x, y, z) = (x - y + z, 2x + y - z). Tìm hạng của f (rank(f)).
Câu 19: Cho không gian vectơ R^4. Hệ vectơ S = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} có độc lập tuyến tính không?
- A. Độc lập tuyến tính.
- B. Phụ thuộc tuyến tính.
- C. Không thể xác định.
- D. Chỉ độc lập tuyến tính khi xét trong R^3.
Câu 20: Cho ma trận A = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]. Tính định thức của A.
- A. 0
- B. 1
- C. cos^2(θ) - sin^2(θ)
- D. -1
Câu 21: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng chính tắc. Chuẩn hóa vectơ u = (2, -1, 2).
- A. (2, -1, 2)
- B. (4, -2, 4)
- C. (2/3, -1/3, 2/3)
- D. (3, -3/2, 3)
Câu 22: Cho ma trận A = [[1, 2], [0, 1]]. Tính A^n với n là số nguyên dương.
- A. [[1, 2n], [0, 1]]
- B. [[1, n], [0, 1]]
- C. [[n, 2n], [0, n]]
- D. [[1, 2n], [0, 1]]
Câu 23: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 có số chiều là 2. Nếu A là ma trận vuông cấp 5, thì hạng của ma trận A bằng bao nhiêu?
Câu 24: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^2 có ma trận biểu diễn đối với cơ sở chính tắc là A = [[2, 0], [0, 3]]. Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của f.
- A. λ1 = 2, v1 = (1, 1); λ2 = 3, v2 = (1, -1)
- B. λ1 = 2, v1 = (1, 0); λ2 = 2, v2 = (0, 1)
- C. λ1 = 2, v1 = (1, 0); λ2 = 3, v2 = (0, 1)
- D. λ1 = 3, v1 = (1, 0); λ2 = 2, v2 = (0, 1)
Câu 25: Cho dạng toàn phương q(x, y, z) = x^2 + 2xy + 2y^2 + 2yz + z^2. Ma trận của dạng toàn phương này là ma trận nào?
- A. [[1, 2, 0], [2, 2, 2], [0, 2, 1]]
- B. [[1, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 1]]
- C. [[1, 2, 0], [0, 2, 2], [0, 0, 1]]
- D. [[1, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 1]]
Câu 26: Cho không gian vectơ con W = {(x, y, z) ∈ R^3 | x - y + z = 0}. Tìm số chiều của không gian con W.
Câu 27: Cho ma trận A = [[1, 2], [3, 4]]. Sử dụng phép khử Gauss để đưa ma trận A về dạng bậc thang.
- A. [[1, 2], [0, 4]]
- B. [[1, 2], [0, -2]]
- C. [[1, 0], [0, 1]]
- D. [[0, 2], [1, 4]]
Câu 28: Cho không gian vectơ R^2 với cơ sở B = {v1 = (1, 1), v2 = (-1, 1)}. Tìm tọa độ của vectơ u = (3, 1) đối với cơ sở B.
- A. [3, 1]_B
- B. [1, 2]_B
- C. [2, -1]_B
- D. [-1, 2]_B
Câu 29: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là sai?
- A. Nếu A khả nghịch thì hệ AX = b có nghiệm duy nhất.
- B. Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch.
- C. Hạng của A bằng số chiều không gian cột của A.
- D. Ma trận vuông luôn chéo hóa được.
Câu 30: Trong mô hình Input-Output Leontief, cho ma trận hệ số đầu vào C = [[0.2, 0.3], [0.4, 0.1]] và vectơ yêu cầu cuối cùng d = [10, 5]^T. Tìm vectơ sản lượng x.
- A. [20, 10]^T
- B. [25, 20]^T
- C. [15, 15]^T
- D. [30, 25]^T
