Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 02 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}$. Tính định thức của ma trận $B = 2A^T - 3I$, với $I$ là ma trận đơn vị cấp 2 và $A^T$ là ma trận chuyển vị của $A$.
Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$, với $A$ là ma trận vuông cấp 3. Biết rằng hệ có nghiệm không tầm thường. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?
- A. Ma trận $A$ khả nghịch.
- B. Các cột của ma trận $A$ độc lập tuyến tính.
- C. Định thức của ma trận $A$ bằng 0.
- D. Hạng của ma trận $A$ bằng 3.
Câu 3: Cho không gian vectơ $V = mathbb{R}^3$. Xét tập hợp $W = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x - 2y + z = 0 ext{ và } x + y - z = 0}$. Hỏi $W$ có phải là không gian con của $V$ không? Nếu có, tìm số chiều của $W$.
- A. Có, $dim(W) = 1$.
- B. Có, $dim(W) = 2$.
- C. Không phải không gian con.
- D. Có, $dim(W) = 3$.
Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^3$ xác định bởi $f(x, y) = (x + y, 2x - y, 3y)$. Tìm ma trận biểu diễn của $f$ đối với cơ sở chính tắc của $mathbb{R}^2$ và $mathbb{R}^3$.
Câu 5: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$. Tìm các giá trị riêng của ma trận $A$.
Câu 6: Cho hai vectơ $u = (1, 2, -1)$ và $v = (2, -1, 3)$ trong $mathbb{R}^3$. Tính tích vô hướng của $u$ và $v$.
Câu 7: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 0 & 2 0 & 1 & -1 1 & 1 & 1 end{pmatrix}$. Tìm hạng của ma trận $A$.
Câu 8: Hệ phương trình tuyến tính $egin{cases} x + y = 3 2x + 2y = k end{cases}$ có nghiệm khi và chỉ khi giá trị của $k$ là:
Câu 9: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của $mathbb{R}^3$?
Câu 10: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm ma trận nghịch đảo $A^{-1}$.
Câu 11: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $90^circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ trong cơ sở chính tắc.
Câu 12: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 3 & -1 0 & 2 end{pmatrix}$. Tính vết (trace) của ma trận $A^2$.
Câu 13: Tìm không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $egin{cases} x - y + z = 0 2x - 2y + 2z = 0 end{cases}$.
- A. ${(0, 0, 0)}$
- B. ${(y - z, y, z) mid y, z in mathbb{R}}$
- C. ${(x, y, 0) mid x, y in mathbb{R}}$
- D. ${(x, x, 0) mid x in mathbb{R}}$
Câu 14: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây về định thức là SAI?
- A. $det(A^T) = det(A)$
- B. $det(cA) = c^n det(A)$, với $c$ là một số vô hướng.
- C. $det(A + B) = det(A) + det(B)$
- D. Nếu $A$ khả nghịch thì $det(A^{-1}) = frac{1}{det(A)}$
Câu 15: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Xét tập hợp $B = {1, x, x^2}$. Hỏi $B$ có phải là cơ sở của $P_2[x]$ không? Nếu có, tìm tọa độ của đa thức $p(x) = 2x^2 - x + 3$ trong cơ sở $B$.
- A. Có, tọa độ là $(3, -1, 2)$.
- B. Có, tọa độ là $(2, -1, 3)$.
- C. Không phải cơ sở.
- D. Có, tọa độ là $(-1, 2, 3)$.
Câu 16: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $A^{100}$.
Câu 17: Cho không gian vectơ $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Phát biểu nào sau đây là ĐÚNG?
- A. Hợp của hai không gian con luôn là một không gian con.
- B. Nếu $W subseteq V$ thì $dim(W) > dim(V)$.
- C. Giao của hai không gian con có thể không phải là không gian con.
- D. Giao của hai không gian con luôn là một không gian con.
Câu 18: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & -1 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm tổng các giá trị riêng của $A$.
Câu 19: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2$ xác định bởi $f(x, y, z) = (x + y, y - z)$. Tìm số chiều của hạt nhân (ker) của $f$.
Câu 20: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$. Tìm ma trận $P$ khả nghịch sao cho $P^{-1}AP$ là ma trận đường chéo.
Câu 21: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^4$. Xét hệ vectơ $S = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)}$. Hệ $S$ có độc lập tuyến tính không?
- A. Không độc lập tuyến tính.
- B. Độc lập tuyến tính.
- C. Không đủ thông tin để kết luận.
- D. Vừa độc lập vừa phụ thuộc tuyến tính.
Câu 22: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 end{pmatrix}$. Tính tích các giá trị riêng của ma trận $A$.
Câu 23: Cho ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^3$. Biết $dim( ext{Im}(f)) = 2$. Tìm $dim( ext{Ker}(f))$.
Câu 24: Cho tích có hướng của hai vectơ $u, v in mathbb{R}^3$ là $u imes v = (1, -2, 1)$. Biết $u = (1, 1, 0)$. Tìm một vectơ có thể là $v = (x, y, z)$.
Câu 25: Cho không gian vectơ $V$ có chiều là $n$. Số chiều lớn nhất của một không gian con thực sự của $V$ là bao nhiêu?
Câu 26: Cho ma trận $A$ vuông cấp 3 có định thức $det(A) = 2$. Tính định thức của ma trận $2A^{-1}$.
Câu 27: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{pmatrix}$. Tìm một vectơ riêng ứng với giá trị riêng $lambda = 5$ của $A$.
Câu 28: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con $W = ext{span}{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$.
Câu 29: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $A^2 = A$, ma trận $A$ được gọi là ma trận lũy đẳng. Tìm các giá trị riêng có thể có của ma trận lũy đẳng $A$.
- A. Chỉ có giá trị riêng 1.
- B. Chỉ có giá trị riêng 0.
- C. 0 hoặc 1.
- D. Giá trị riêng bất kỳ.
Câu 30: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = B$. Biết rằng hệ có nghiệm duy nhất. Điều gì xảy ra nếu ta thay đổi vế phải $B$ thành $C
eq B$?
- A. Hệ $AX = C$ vô nghiệm.
- B. Hệ $AX = C$ có nghiệm duy nhất.
- C. Hệ $AX = C$ có vô số nghiệm.
- D. Không thể xác định số nghiệm của $AX = C$.
