Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 04 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 3 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận nghịch đảo của $A$, ký hiệu là $A^{-1}$?
- A. $egin{pmatrix} 3 & -1 1 & 2 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 3/7 & 1/7 -1/7 & 2/7 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 2/7 & -1/7 1/7 & 3/7 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 3 end{pmatrix}$
Câu 2: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $AX = 0$, trong đó $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Phát biểu nào sau đây là đúng về nghiệm của hệ?
- A. Hệ luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường.
- B. Hệ luôn có nghiệm duy nhất.
- C. Hệ có thể vô nghiệm.
- D. Số nghiệm của hệ phụ thuộc vào vector cột vế phải.
Câu 3: Xét không gian vector $R^3$. Tập hợp nào sau đây là một không gian con của $R^3$?
- A. $W_1 = {(x, y, z) in R^3 | x + y + z = 1}$
- B. $W_2 = {(x, y, z) in R^3 | x^2 + y^2 = 0}$
- C. $W_3 = {(x, y, z) in R^3 | 2x - y + z = 0}$
- D. $W_4 = {(x, y, z) in R^3 | x geq 0, y geq 0, z geq 0}$
Câu 4: Cho $u = (1, -2, 3)$ và $v = (2, 1, -1)$ là hai vector trong $R^3$. Tính tích vô hướng (tích trong) của $u$ và $v$.
- A. $(-3, 0, -3)$
- B. $6$
- C. $(2, -2, -3)$
- D. $ -3 $
Câu 5: Định thức của ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{pmatrix}$ bằng bao nhiêu?
- A. $0$
- B. $11$
- C. $24$
- D. $30$
Câu 6: Cho biến đổi tuyến tính $T: R^2
ightarrow R^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (2x + y, x - y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc $E = {e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1)}$ của $R^2$ là ma trận nào?
- A. $egin{pmatrix} 1 & -1 2 & 1 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 2 & 1 1 & -1 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 1 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 1 & 2 -1 & 1 end{pmatrix}$
Câu 7: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}$. Tìm hạng (rank) của ma trận $A$.
- A. $1$
- B. $2$
- C. $0$
- D. $3$
Câu 8: Cho không gian vector $V$ có cơ sở $B = {v_1, v_2, v_3}$. Nếu $[u]_B = egin{pmatrix} 2 -1 3 end{pmatrix}$ là vector tọa độ của $u$ đối với cơ sở $B$, điều này có nghĩa là gì?
- A. $u = 2v_1 - v_2 + 3v_3$ trong cơ sở $B$.
- B. $u = 3v_1 - v_2 + 2v_3$ trong cơ sở $B$.
- C. $u = (2, -1, 3)$ trong không gian $V$.
- D. $u = 2v_1 - v_2 + 3v_3$.
Câu 9: Cho vector $v = (2, -1, 3)$. Tìm vector đơn vị cùng hướng với $v$.
- A. $(2, -1, 3)$
- B. $(frac{2}{sqrt{12}}, frac{-1}{sqrt{12}}, frac{3}{sqrt{12}})$
- C. $(frac{2}{sqrt{14}}, frac{-1}{sqrt{14}}, frac{3}{sqrt{14}})$
- D. $(frac{2}{14}, frac{-1}{14}, frac{3}{14})$
Câu 10: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 3 & -2 -2 & 3 end{pmatrix}$. Tìm một giá trị riêng của ma trận $A$.
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $6$
Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief, ma trận hệ số kỹ thuật $A$ và vector cầu cuối $d$ đã cho. Biểu thức nào sau đây biểu diễn vector sản lượng $x$ cần thiết để đáp ứng cầu cuối?
- A. $x = Ad + I$
- B. $x = A^{-1}d$
- C. $x = (I + A)d$
- D. $x = (I - A)^{-1}d$
Câu 12: Cho $U$ và $W$ là hai không gian con của không gian vector $V$. Tập hợp nào sau đây chắc chắn là một không gian con của $V$?
- A. $U cup W$
- B. $U setminus W$
- C. $U cap W$
- D. $U + W^c$
Câu 13: Giả sử ma trận $A$ vuông cấp $n$ có định thức $det(A) = 3$. Tính định thức của ma trận $2A$.
- A. $6$
- B. $3 cdot 2^n$
- C. $3^n cdot 2$
- D. $24$
Câu 14: Cho hệ vector $S = {v_1, v_2, v_3}$ trong không gian vector $V$. Điều kiện nào sau đây chứng tỏ $S$ là một cơ sở của $V$?
- A. $S$ sinh ra $V$.
- B. $S$ độc lập tuyến tính.
- C. $S$ có số vector bằng số chiều của $V$.
- D. $S$ độc lập tuyến tính và sinh ra $V$.
Câu 15: Cho biến đổi tuyến tính $T: R^3
ightarrow R^2$ xác định bởi $T(x, y, z) = (x + y, y - z)$. Tìm hạt nhân (kernel) của $T$, ký hiệu là $Ker(T)$.
- A. $Ker(T) = {(x, -x, -x) | x in R}$
- B. $Ker(T) = {(x, x, -x) | x in R}$
- C. $Ker(T) = {(x, y, 0) | x, y in R}$
- D. $Ker(T) = {(0, 0, 0)}$
Câu 16: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 1 0 & 1 end{pmatrix}$. Tính $A^n$ với $n$ là số nguyên dương.
- A. $egin{pmatrix} n & n 0 & n end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 1 & n^2 0 & 1 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 1 & n 0 & 1 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} n & 1 0 & n end{pmatrix}$
Câu 17: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX = b$. Phát biểu nào sau đây là điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm?
- A. $det(A)
eq 0$
- B. $rank(A) = rank([A|b])$
- C. $rank(A) < rank([A|b])$
- D. $b = 0$
Câu 18: Cho không gian vector $R^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm hình chiếu trực giao của vector $u = (1, 2, 3)$ lên không gian con $W = span{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$.
- A. $(0, 0, 3)$
- B. $(1, 0, 0)$
- C. $(1, 2, 0)$
- D. $(0, 2, 3)$
Câu 19: Cho ma trận $A$ vuông cấp 3 có các giá trị riêng là $lambda_1 = 1, lambda_2 = -2, lambda_3 = 3$. Tính định thức của ma trận $A$.
- A. $4$
- B. $2$
- C. $0$
- D. $-6$
Câu 20: Cho biến đổi tuyến tính $T: V
ightarrow W$. Phát biểu nào sau đây là đúng về mối quan hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh của $T$?
- A. $dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(V)$
- B. $dim(Ker(T)) - dim(Im(T)) = dim(V)$
- C. $dim(Ker(T)) cdot dim(Im(T)) = dim(V)$
- D. $dim(Ker(T)) = dim(Im(T))$
Câu 21: Cho không gian vector $R^2$ với cơ sở $B = {v_1 = (1, 1), v_2 = (1, -1)}$. Tìm tọa độ của vector $u = (3, 1)$ đối với cơ sở $B$, ký hiệu là $[u]_B = egin{pmatrix} c_1 c_2 end{pmatrix}$.
- A. $egin{pmatrix} 2 1 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 2 -1 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 1 2 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} -1 2 end{pmatrix}$
Câu 22: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm các giá trị riêng của ma trận $A$.
- A. $lambda = 1, 2$
- B. $lambda = 0, 3$
- C. $lambda = 1, 3$
- D. $lambda = -1, -3$
Câu 23: Cho hệ phương trình tuyến tính $egin{cases} x + y = 3 2x + 2y = k end{cases}$. Giá trị nào của $k$ để hệ có vô số nghiệm?
- A. $k = 0$
- B. $k = 2$
- C. $k = 5$
- D. $k = 6$
Câu 24: Cho không gian vector $R^3$. Xét tập hợp $S = {v_1 = (1, 0, 1), v_2 = (0, 1, 1), v_3 = (1, 1, 2)}$. Tập hợp $S$ có độc lập tuyến tính không?
- A. Độc lập tuyến tính
- B. Phụ thuộc tuyến tính
- C. Vừa độc lập vừa phụ thuộc tuyến tính
- D. Không xác định được
Câu 25: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Điều kiện nào sau đây tương đương với việc $A$ khả nghịch?
- A. $det(A) = 0$
- B. $rank(A) < n$
- C. $det(A)
eq 0$
- D. Không có điều kiện nào
Câu 26: Cho không gian vector $V$ có chiều là 4. Số vector tối thiểu cần có để sinh ra $V$ là bao nhiêu?
- A. $2$
- B. $3$
- C. $5$
- D. $4$
Câu 27: Cho biến đổi tuyến tính $T: R^2
ightarrow R^3$ xác định bởi $T(x, y) = (x + y, x - y, 2x)$. Tìm ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chính tắc của $R^2$ và $R^3$.
- A. $egin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 2 & 0 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 1 & -1 1 & 1 0 & 2 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 1 & 2 1 & 0 1 & -1 end{pmatrix}$
Câu 28: Cho không gian vector $R^3$ với tích vô hướng chính tắc. Tìm cơ sở trực giao của không gian con $W = span{(1, 1, 0), (0, 1, 1)}$.
- A. ${(1, 1, 0), (0, 1, 1)}$
- B. ${(1, 1, 0), (-frac{1}{2}, frac{1}{2}, 1)}$
- C. ${(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$
- D. ${(1, 1, 0), (1, -1, 2)}$
Câu 29: Cho ma trận vuông $A$. Phát biểu nào sau đây đúng về mối quan hệ giữa không gian cột $Col(A)$ và không gian hàng $Row(A)$?
- A. $Col(A) = Row(A)$
- B. $Col(A) perp Row(A)$
- C. $dim(Col(A)) = dim(Row(A))$
- D. $Col(A) cap Row(A) = {0}$
Câu 30: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$. Nếu $lambda$ là một giá trị riêng của $A$, thì $lambda^2$ là giá trị riêng của ma trận nào sau đây?
- A. $2A$
- B. $A + I$
- C. $A^{-1}$
- D. $A^2$
