Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính - Đề 05 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 -4 & 2 end{pmatrix}$. Ma trận nào sau đây là ma trận chuyển vị của $A$?
- A. $egin{pmatrix} 2 & -4 -1 & 2 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} -2 & 1 4 & -2 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 2 & -1 -4 & 2 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 2 & 1 4 & 2 end{pmatrix}
Câu 2: Cho hai ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 3 & 4 end{pmatrix}$ và $B = egin{pmatrix} 5 & 6 7 & 8 end{pmatrix}$. Tính ma trận tích $AB$.
- A. $egin{pmatrix} 19 & 22 43 & 50 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 23 & 34 31 & 46 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 5 & 12 21 & 32 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 19 & 22 43 & 50 end{pmatrix}
Câu 3: Định thức của ma trận $C = egin{pmatrix} 3 & 0 0 & -2 end{pmatrix}$ là bao nhiêu?
Câu 4: Hệ phương trình tuyến tính $egin{cases} x + y = 3 x - y = 1 end{cases}$ có bao nhiêu nghiệm?
- A. Một nghiệm duy nhất
- B. Vô số nghiệm
- C. Vô nghiệm
- D. Không thể xác định
Câu 5: Cho vectơ $mathbf{v} = (1, 2, 3)$ và $mathbf{u} = (-1, 0, 1)$. Tính tích vô hướng (tích chấm) của $mathbf{v}$ và $mathbf{u}$.
Câu 6: Tập hợp các vectơ $V = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid y = 2x}$ có phải là không gian vectơ con của $mathbb{R}^2$ không? Giải thích.
- A. Có, vì nó thỏa mãn các tiên đề không gian vectơ con: chứa vectơ không, đóng kín với phép cộng và phép nhân vô hướng.
- B. Không, vì nó không chứa vectơ không.
- C. Không, vì nó không đóng kín với phép cộng vectơ.
- D. Không, vì nó không đóng kín với phép nhân vô hướng.
Câu 7: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ được xác định bởi $T(x, y) = (x+y, x-y)$. Ma trận biểu diễn của $T$ đối với cơ sở chuẩn của $mathbb{R}^2$ là ma trận nào?
- A. $egin{pmatrix} 1 & 1 -1 & 1 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 1 & -1 1 & 1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 1 & -1 -1 & 1 end{pmatrix}
Câu 8: Giá trị riêng của ma trận $D = egin{pmatrix} 2 & 0 0 & 3 end{pmatrix}$ là:
- A. 2 và -3
- B. -2 và 3
- C. 2 và 3
- D. -2 và -3
Câu 9: Cho ma trận $E = egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}$. Hạng (rank) của ma trận $E$ là bao nhiêu?
Câu 10: Vectơ nào sau đây là vectơ riêng của ma trận $F = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$ ứng với giá trị riêng $lambda = 3$?
- A. $(1, -1)
- B. $(1, 1)
- C. $(2, 1)
- D. $(1, 0)
Câu 11: Cho không gian vectơ $mathbb{R}^3$. Hệ vectơ ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}$ là:
- A. Một cơ sở của $mathbb{R}^3$
- B. Một hệ sinh của $mathbb{R}^3$ nhưng không phải cơ sở
- C. Độc lập tuyến tính nhưng không là cơ sở của $mathbb{R}^3$
- D. Phụ thuộc tuyến tính
Câu 12: Cho ma trận $G = egin{pmatrix} 1 & 2 0 & 1 end{pmatrix}$. Ma trận nghịch đảo $G^{-1}$ là:
- A. $egin{pmatrix} -1 & -2 0 & -1 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 1 & -2 0 & -1 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 1 & -2 0 & 1 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} -1 & 2 0 & -1 end{pmatrix}
Câu 13: Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$ (với $A$ là ma trận $m imes n$) luôn là:
- A. Tập hợp rỗng
- B. Một không gian vectơ con của $mathbb{R}^n$
- C. Một không gian vectơ con của $mathbb{R}^m$
- D. Toàn bộ không gian $mathbb{R}^n$
Câu 14: Cho biết định thức của ma trận $H$ vuông cấp $n$ là $det(H)$. Định thức của ma trận $2H$ là:
- A. $2det(H)$
- B. $det(H) + 2$
- C. $det(H^2)$
- D. $2^ndet(H)$
Câu 15: Cho hai không gian con $U$ và $W$ của không gian vectơ $V$. Phát biểu nào sau đây luôn đúng?
- A. $U cup W$ luôn là không gian con của $V$.
- B. Nếu $U cap W = {0}$, thì $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)$.
- C. $U cap W$ luôn là không gian con của $V$.
- D. $dim(U + W) = dim(U) + dim(W)$ luôn đúng.
Câu 16: Cho số phức $z = 2 + 3i$. Số phức liên hợp $ar{z}$ của $z$ là:
- A. $-2 - 3i$
- B. $2 - 3i$
- C. $-2 + 3i$
- D. $3 + 2i$
Câu 17: Môđun của số phức $w = 3 - 4i$ là:
- A. 7
- B. $sqrt{7}$
- C. 5
- D. 25
Câu 18: Dạng lượng giác của số phức $z = 1 + i$ là:
- A. $sqrt{2}(cos(pi/3) + isin(pi/3))$
- B. $2(cos(pi/4) + isin(pi/4))$
- C. $sqrt{2}(cos(-pi/4) + isin(-pi/4))$
- D. $sqrt{2}(cos(pi/4) + isin(pi/4))$
Câu 19: Nghiệm của phương trình $z^2 = -4$ trong tập số phức $mathbb{C}$ là:
- A. $z = 2i$ và $z = -2i$
- B. $z = 2$ và $z = -2$
- C. $z = 4i$ và $z = -4i$
- D. $z = 4$ và $z = -4$
Câu 20: Cho hai số phức $z_1 = 1 + i$ và $z_2 = 2 - i$. Tính $z_1 + z_2$.
- A. $3 + 2i$
- B. $3 - 2i$
- C. $3$
- D. $3 + i$
Câu 21: Cho ánh xạ $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^3$ xác định bởi $f(x, y) = (x+y, x-y, 2x)$. Xác định xem $f$ có phải là ánh xạ tuyến tính không. Giải thích.
- A. Không phải, vì không thỏa mãn tính chất cộng tính.
- B. Có, vì thỏa mãn cả tính chất cộng tính và thuần nhất.
- C. Không phải, vì không thỏa mãn tính chất thuần nhất.
- D. Không thể xác định.
Câu 22: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, xét tập hợp $S = {(1, 0, 1), (0, 1, -1), (1, 1, 0)}$. Tập $S$ có độc lập tuyến tính không?
- A. Độc lập tuyến tính và là cơ sở của $mathbb{R}^3$.
- B. Độc lập tuyến tính nhưng không phải là cơ sở của $mathbb{R}^3$.
- C. Phụ thuộc tuyến tính và là cơ sở của $mathbb{R}^3$.
- D. Phụ thuộc tuyến tính.
Câu 23: Cho ma trận $J = egin{pmatrix} 2 & -1 0 & 2 end{pmatrix}$. Tính $J^2$.
- A. $egin{pmatrix} 4 & 1 0 & 4 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 4 & -4 0 & 4 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 4 & -4 0 & 4 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 4 & -2 0 & 4 end{pmatrix}
Câu 24: Cho hệ phương trình tuyến tính $Ax = b$. Nếu $det(A)
eq 0$, hệ phương trình này có:
- A. Nghiệm duy nhất
- B. Vô số nghiệm
- C. Vô nghiệm
- D. Có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
Câu 25: Phép biến đổi sơ cấp trên hàng nào sau đây có thể làm thay đổi định thức của ma trận?
- A. Đổi chỗ hai hàng.
- B. Nhân một hàng với một số khác 0.
- C. Nhân một hàng với một số khác 0.
- D. Cộng một bội số của một hàng vào hàng khác.
Câu 26: Cho không gian vectơ $P_2[x]$ các đa thức bậc không quá 2. Tìm chiều của không gian $P_2[x]$.
Câu 27: Cho tích có hướng của hai vectơ $mathbf{a}, mathbf{b} in mathbb{R}^3$ là $mathbf{a} imes mathbf{b}$. Tích có hướng $mathbf{a} imes mathbf{b}$ là một vectơ:
- A. Cùng phương với $mathbf{a}$
- B. Cùng phương với $mathbf{b}$
- C. Nằm trong mặt phẳng chứa $mathbf{a}$ và $mathbf{b}$
- D. Vuông góc với cả $mathbf{a}$ và $mathbf{b}$
Câu 28: Cho ma trận $K = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 end{pmatrix}$. Định thức của ma trận $K$ là:
Câu 29: Cho biến đổi tuyến tính $T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^3$ là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng $xy$. Công thức của $T(x, y, z)$ là:
- A. $(x, 0, 0)
- B. $(x, y, 0)
- C. $(0, y, z)
- D. $(0, 0, z)
Câu 30: Cho dạng toàn phương $Q(x, y) = x^2 + 4xy + 3y^2$. Ma trận đối xứng của dạng toàn phương này là:
- A. $egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 3 end{pmatrix}
- B. $egin{pmatrix} 1 & 4 4 & 3 end{pmatrix}
- C. $egin{pmatrix} 1 & 2 2 & -3 end{pmatrix}
- D. $egin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix}
