Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online – Môn Đại Số Tuyến Tính – Đề 06

Câu hỏi kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính dựa trên ma trận hệ số suy biến. Ma trận A có định thức bằng 0, vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi véc tơ b nằm trong không gian cột của A. Phân tích ma trận A, ta thấy cột 2 là -1/2 cột 1, do đó không gian cột chỉ có chiều 1. Để hệ có nghiệm thì dòng 2 phải là -2 dòng 1.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn trong không gian đa thức. Cần tính $T(1), T(x), T(x^2)$ và biểu diễn chúng qua cơ sở ${1, x, x^2}$. $T(1) = 0 + 0 = 0 = 0cdot 1 + 0cdot x + 0cdot x^2$. $T(x) = 1 + 0 = 1 = 1cdot 1 + 0cdot x + 0cdot x^2$. $T(x^2) = 2x + 2 = 2cdot 1 + 2cdot x + 0cdot x^2$. Từ đó suy ra ma trận biểu diễn.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm độc lập tuyến tính. Véc tơ $v_2 = 2v_1$, nên hệ ${v_1, v_2, v_3}$ phụ thuộc tuyến tính. Kiểm tra các hệ con: ${v_1, v_3}$ không tỉ lệ, nên độc lập tuyến tính. ${v_2, v_3}$ phụ thuộc tuyến tính vì $v_2 = 2v_1$. ${v_1}$ và ${v_2}$ và ${v_3}$ mỗi hệ chỉ có 1 véc tơ khác véc tơ 0 nên độc lập tuyến tính.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của định thức và ma trận nghịch đảo. Ma trận A là ma trận tam giác trên, định thức là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 1*4*6 = 24. Ta biết det($A^{-1}$) = 1/det(A).

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm hạng của ma trận. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang. D2 = D2 - 2D1, D3 = D3 + D1, ta được $begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \ 0 & 0 & 3 & -6 \ 0 & 0 & 1 & 0 end{pmatrix}$. D3 = D3 - (1/3)D2, ta được $begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \ 0 & 0 & 3 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 2 end{pmatrix}$. Ma trận bậc thang có 3 dòng khác 0, vậy hạng của ma trận là 3.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về hình chiếu trực giao. Hình chiếu của u lên không gian sinh bởi v được tính theo công thức proj$_v u = frac{langle u, v rangle}{langle v, v rangle} v$. Tính tích vô hướng: $langle u, v rangle = 3*1 + 4*1 = 7$, $langle v, v rangle = 1*1 + 1*1 = 2$. Vậy proj$_v u = frac{7}{2} (1, 1) = (frac{7}{2}, frac{7}{2})$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm giá trị riêng. Giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng det(C - $lambda I$) = 0. det$begin{pmatrix} 2-lambda & 1 \ 1 & 2-lambda end{pmatrix}$ = $(2-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda - 3) = 0$. Vậy giá trị riêng là $lambda_1 = 1, lambda_2 = 3$.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm hạt nhân của ánh xạ tuyến tính và định lý hạng-số chiều. Hạt nhân của F là tập hợp các véc tơ $(x, y, z)$ sao cho $F(x, y, z) = (0, 0)$. Tức là $x+y = 0$ và $y-z = 0$. Suy ra $y = -x$ và $z = y = -x$. Vậy véc tơ có dạng $(x, -x, -x) = x(1, -1, -1)$. Hạt nhân được sinh bởi véc tơ $(1, -1, -1)$, nên chiều của hạt nhân là 1.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của vết ma trận và phép nhân ma trận. Ma trận D là ma trận đường chéo, $D^2 = begin{pmatrix} 1^2 & 0 & 0 \ 0 & 2^2 & 0 \ 0 & 0 & 3^2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 9 end{pmatrix}$. Vết của ma trận là tổng các phần tử trên đường chéo chính: tr($D^2$) = 1 + 4 + 9 = 14.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm tọa độ của véc tơ trong một cơ sở cho trước. Cần tìm các hệ số $c_1, c_2, c_3$ sao cho $u = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3$. Tức là $(2, -1, 3) = c_1(1, 0, 1) + c_2(0, 1, 1) + c_3(1, 1, 0) = (c_1+c_3, c_2+c_3, c_1+c_2)$. Giải hệ phương trình: $c_1+c_3 = 2, c_2+c_3 = -1, c_1+c_2 = 3$. Từ PT1 và PT3: $c_3 - c_2 = -1$. Kết hợp với PT2: $2c_3 = -2 Rightarrow c_3 = -1$. $c_1 = 2 - c_3 = 3$. $c_2 = 3 - c_1 = 0$. Tọa độ là $(3, 0, -1)$.

Câu hỏi kiểm tra định lý hạng-số chiều cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Cho ma trận $A$ cấp $n times n$, dim(N(A)) + rank(A) = n. Ở đây n = 4, rank(A) = 3. Vậy dim(N(A)) = 4 - 3 = 1.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện khả nghịch của ma trận thông qua định thức. Ma trận E khả nghịch khi và chỉ khi det(E) $neq$ 0. det(E) = $k^2 - 1$. $k^2 - 1 neq 0 Leftrightarrow k neq pm 1$.

Câu hỏi kiểm tra công thức về số chiều của tổng và giao của hai không gian con: dim($U + W$) = dim($U$) + dim($W$) - dim($U cap W$). Ta biết $U cap W$ là không gian con của cả $U$ và $W$, nên dim($U cap W$) $leq$ min(dim($U$), dim($W$)) = 3. Mặt khác, $U + W$ là không gian con của $V$, nên dim($U + W$) $leq$ dim($V$) = 6. Từ công thức trên: dim($U cap W$) = dim($U$) + dim($W$) - dim($U + W$) = 3 + 4 - dim($U + W$) = 7 - dim($U + W$). Để dim($U cap W$) nhỏ nhất, dim($U + W$) phải lớn nhất. Giá trị lớn nhất của dim($U + W$) là 6 (vì dim($U + W$) $leq$ dim($V$)). Vậy giá trị nhỏ nhất của dim($U cap W$) = 7 - 6 = 1.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện phụ thuộc tuyến tính của các cột ma trận. Các cột của F phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi định thức của F bằng 0. det(F) = $2k - (-1)*4 = 2k + 4$. $2k + 4 = 0 Leftrightarrow k = -2$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm cơ sở của không gian con sinh bởi một hệ véc tơ. Véc tơ $v = 2u$, nên $u$ và $v$ phụ thuộc tuyến tính. Không gian $W$ chỉ được sinh bởi một véc tơ độc lập tuyến tính là $u$ (hoặc $v$ nếu chọn $v$ làm đại diện). Vậy cơ sở của $W$ có thể là ${u}$ hoặc ${v}$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận cấp 2. Cho $G = begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix}$, $G^{-1} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix}$. det(G) = $1*4 - 2*3 = -2$. $G^{-1} = frac{1}{-2} begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -2 & 1 \ frac{3}{2} & -frac{1}{2} end{pmatrix}$.

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tích vô hướng trong không gian đa thức. Tính tích vô hướng $langle x, x^2 rangle = int_0^1 x cdot x^2 dx = int_0^1 x^3 dx = left[ frac{x^4}{4} right]_0^1 = frac{1}{4} - 0 = frac{1}{4}$.

Câu hỏi kiểm tra ma trận biểu diễn của phép quay. Phép quay $90^circ$ ngược chiều kim đồng hồ biến véc tơ $(1, 0)$ thành $(0, 1)$ và véc tơ $(0, 1)$ thành $(-1, 0)$. Vậy ma trận biểu diễn là $begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$.

Câu hỏi kiểm tra giá trị riêng của ma trận đường chéo. Ma trận J là ma trận đường chéo, các giá trị riêng nằm trên đường chéo chính. Ở đây cả hai giá trị riêng đều là 2.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận nghịch đảo. Hệ phương trình viết dưới dạng ma trận $Ax = b$, với $A = begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 end{pmatrix}, x = begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix}, b = begin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix}$. $x = A^{-1}b$. det(A) = -2. $A^{-1} = frac{1}{-2} begin{pmatrix} -1 & -1 \ -1 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{1}{2} & frac{1}{2} \ frac{1}{2} & -frac{1}{2} end{pmatrix}$. $x = A^{-1}b = begin{pmatrix} frac{1}{2} & frac{1}{2} \ frac{1}{2} & -frac{1}{2} end{pmatrix} begin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix}$. Vậy $x = 2, y = 1$.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm chuẩn hóa véc tơ. Chuẩn của véc tơ $v = ||v|| = sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = sqrt{1 + 4 + 4} = sqrt{9} = 3$. Véc tơ chuẩn hóa là $frac{v}{||v||} = frac{1}{3}(1, 2, 2) = (frac{1}{3}, frac{2}{3}, frac{2}{3})$.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của định thức và lũy thừa ma trận. Ma trận K là ma trận tam giác trên, det(K) = 1*1*1 = 1. det($K^3$) = (det(K))$^3 = 1^3 = 1$.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện để một tập hợp con là không gian con. Cần kiểm tra 3 điều kiện: chứa véc tơ 0, đóng với phép cộng, đóng với phép nhân vô hướng. Véc tơ 0 = (0, 0) thuộc U vì 0 + 0 = 0. Nếu $u = (x_1, y_1) in U, v = (x_2, y_2) in U$, thì $x_1 + y_1 = 0, x_2 + y_2 = 0$. $u + v = (x_1+x_2, y_1+y_2)$, $(x_1+x_2) + (y_1+y_2) = (x_1+y_1) + (x_2+y_2) = 0 + 0 = 0$, nên $u+v in U$. Nếu $c in R, u = (x, y) in U$, thì $cx = (cx, cy)$, $cx + cy = c(x+y) = c*0 = 0$, nên $cu in U$. Vậy U là không gian con.

Câu hỏi kiểm tra điều kiện khả nghịch của ánh xạ tuyến tính thông qua ma trận biểu diễn. Ánh xạ tuyến tính $L$ khả nghịch khi và chỉ khi ma trận biểu diễn $M$ khả nghịch. Ma trận $M$ là ma trận tam giác trên, định thức det(M) = 1*1*1 = 1 $neq$ 0. Vậy $M$ khả nghịch, suy ra $L$ khả nghịch.

Câu hỏi kiểm tra khái niệm không gian cột. Không gian cột của N là không gian sinh bởi các cột của N. Cột 2 = 2 * Cột 1. Vậy không gian cột được sinh bởi một véc tơ duy nhất là cột 1 (hoặc cột 2). Không gian cột là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và véc tơ cột 1 (hoặc cột 2).

Câu hỏi kiểm tra tính chất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. Nếu hệ $Ax = b$ có hai nghiệm phân biệt, thì hệ có vô số nghiệm. Điều này xảy ra khi ma trận hệ số A suy biến và véc tơ b nằm trong không gian cột của A.

Câu hỏi kiểm tra công thức chuyển tọa độ khi đổi cơ sở. Ma trận chuyển cơ sở $P$ từ $B$ sang $C$ thỏa mãn $[v]_C = P[v]_B$.

Câu hỏi kiểm tra tính chất của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Hệ $Ax = 0$ luôn có nghiệm tầm thường $x = 0$. Do đó, không gian nghiệm $W$ luôn chứa véc tơ 0.

Câu hỏi kiểm tra định nghĩa và tính chất của ma trận trực giao. Ma trận vuông $Q$ là trực giao khi và chỉ khi $Q^T Q = I$ hoặc $QQ^T = I$ hoặc $Q^{-1} = Q^T$.

Câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính lũy thừa cao của ma trận. Nhận thấy $R = I + S$, với $I = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}, S = begin{pmatrix} 0 & 2 \ 0 & 0 end{pmatrix}$. $I$ và $S$ giao hoán. $S^2 = 0$. Sử dụng khai triển nhị thức Newton: $R^{100} = (I + S)^{100} = sum_{k=0}^{100} binom{100}{k} I^{100-k} S^k = binom{100}{0} I^{100} S^0 + binom{100}{1} I^{99} S^1 + sum_{k=2}^{100} binom{100}{k} I^{100-k} S^k = I + 100S + 0 = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix} + 100 begin{pmatrix} 0 & 2 \ 0 & 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 200 \ 0 & 1 end{pmatrix}$.