Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Đại Số Tuyến Tính bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 2 & -1 3 & 4 end{pmatrix}). Định thức của ma trận (2A^{-1}) là bao nhiêu?
- A. -4/11
- B. 4/55
- C. -4/55
- D. 4/11
Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (Ax = 0), trong đó A là ma trận vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là **sai**?
- A. Nếu det(A) ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường.
- B. Nếu hệ có nghiệm không tầm thường, thì det(A) ≠ 0.
- C. Hệ luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường.
- D. Hệ có vô số nghiệm khi và chỉ khi det(A) = 0.
Câu 3: Cho (V = {(x, y, z) in mathbb{R}^3 mid x - 2y + z = 0}). V là không gian con của (mathbb{R}^3). Tìm một cơ sở của V.
- A. ({(1, 0, -1), (0, 1, 2)})
- B. ({(2, 1, 0), (-1, 0, 1)})
- C. ({(2, 1, 0), (0, 1, 2)})
- D. ({(1, 2, 3), (2, 4, 6)})
Câu 4: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 2 & 4 & k 4 & 8 & 12 end{pmatrix}). Với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A là nhỏ nhất?
- A. k = 6
- B. k ≠ 6
- C. k = 0
- D. k = 12
Câu 5: Cho hai ma trận (A, B) vuông cấp (n) khả nghịch. Ma trận ((A^T B)^{-1}) bằng ma trận nào sau đây?
- A. (A^{-1} (B^{-1})^T)
- B. (B^{-1} (A^{-1})^T)
- C. (B^{-1} (A^T)^{-1})
- D. (B^{-1} (A^{-1}))
Câu 6: Trong không gian vectơ (mathbb{R}^3), xét tập hợp vectơ (S = {(1, 2, -1), (2, 4, -2), (0, 1, 3), (1, 3, 2)}). Tìm số chiều của không gian sinh bởi S.
Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính ( egin{cases} x + y - z = 1 2x - y + mz = 2 x - 2y + 3z = -1 end{cases} ). Tìm giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
- A. m = 1
- B. m ≠ 1
- C. m = 4
- D. m ≠ 4
Câu 8: Cho biến đổi tuyến tính (T: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2) xác định bởi (T(x, y) = (2x - y, x + 3y)). Tìm ma trận biểu diễn của T đối với cơ sở chính tắc của (mathbb{R}^2).
- A. (egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 3 end{pmatrix})
- B. (egin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 3 end{pmatrix})
- C. (egin{pmatrix} 1 & 3 2 & -1 end{pmatrix})
- D. (egin{pmatrix} 3 & 1 -1 & 2 end{pmatrix})
Câu 9: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 3 & -1 -1 & 3 end{pmatrix}). Tìm một vectơ riêng ứng với giá trị riêng ( lambda = 2 ) của ma trận A.
- A. ((1, 1))
- B. ((1, 1)) hoặc ((1, -1))
- C. ((1, -1))
- D. ((2, 1))
Câu 10: Cho (z = 2 - 2i). Biểu diễn số phức (z^5) dưới dạng (a + bi).
- A. -128 - 128i
- B. 128 + 128i
- C. -64 - 64i
- D. -128 + 128i
Câu 11: Trong mô hình Input-Output mở, cho ma trận hệ số đầu vào (A = egin{pmatrix} 0.2 & 0.3 0.4 & 0.1 end{pmatrix}) và vectơ cầu cuối (d = egin{pmatrix} 10 20 end{pmatrix}). Tìm vectơ sản lượng (x).
- A. (egin{pmatrix} 30 40 end{pmatrix})
- B. (egin{pmatrix} 40 30 end{pmatrix})
- C. (egin{pmatrix} 400/7 300/7 end{pmatrix})
- D. (egin{pmatrix} 300/7 400/7 end{pmatrix})
Câu 12: Cho ma trận (A) vuông cấp 3 có định thức det(A) = 5. Tính định thức của ma trận (B = 2A^T A^{-1}).
- A. 10
- B. 8/5
- C. 20
- D. 25/8
Câu 13: Cho không gian vectơ (V) có chiều là 4. Xét các mệnh đề sau:
(I) Mọi tập hợp gồm 5 vectơ trong (V) đều phụ thuộc tuyến tính.
(II) Mọi tập hợp gồm 3 vectơ trong (V) đều độc lập tuyến tính.
(III) Tồn tại một tập hợp gồm 4 vectơ độc lập tuyến tính trong (V).
Số mệnh đề đúng là:
Câu 14: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 4 end{pmatrix}). Tìm tất cả các giá trị riêng của ma trận A.
- A. (lambda = 1, 4)
- B. (lambda = 2, 3)
- C. (lambda = -2, 2)
- D. (lambda = 0, 5)
Câu 15: Tập hợp nào sau đây là không gian con của (mathbb{R}^2)?
- A. (W = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid 2x - y = 0})
- B. (W = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid x^2 + y^2 = 1})
- C. (W = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid y = x + 1})
- D. (W = {(x, y) in mathbb{R}^2 mid xy = 0})
Câu 16: Giải phương trình (z^2 - 4z + 5 = 0) trong tập số phức (mathbb{C}).
- A. (z = 2 pm 3i)
- B. (z = 2 pm i)
- C. (z = -2 pm i)
- D. (z = -2 pm 3i)
Câu 17: Cho số phức (z = frac{1 + isqrt{3}}{1 - i}). Tìm module của số phức (z).
- A. (sqrt{2})
- B. 2
- C. (sqrt{2})
- D. 1
Câu 18: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 1 & -1 2 & -2 end{pmatrix}). Tìm ma trận (A^2).
- A. (egin{pmatrix} 1 & 1 4 & 4 end{pmatrix})
- B. (egin{pmatrix} -1 & 1 -2 & 2 end{pmatrix})
- C. (egin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 end{pmatrix})
- D. (egin{pmatrix} -1 & 1 -2 & 2 end{pmatrix})
Câu 19: Cho hệ vectơ (S = {v_1, v_2, v_3}) trong không gian vectơ (V). Biết S độc lập tuyến tính. Hỏi hệ vectơ (S" = {v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 + v_3}) có độc lập tuyến tính không?
- A. Độc lập tuyến tính
- B. Phụ thuộc tuyến tính
- C. Không xác định được
- D. Chỉ độc lập tuyến tính khi V là không gian hữu hạn chiều
Câu 20: Cho biến đổi tuyến tính (T: mathbb{R}^3 o mathbb{R}^2) xác định bởi (T(x, y, z) = (x + y, y - z)). Tìm hạng của biến đổi tuyến tính T.
Câu 21: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}). Ma trận nào sau đây là ma trận đường chéo hóa của A?
- A. (egin{pmatrix} 2 & 0 0 & 2 end{pmatrix})
- B. (egin{pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end{pmatrix})
- C. (egin{pmatrix} 3 & 0 0 & 1 end{pmatrix})
- D. (egin{pmatrix} 1 & 0 0 & 3 end{pmatrix})
Câu 22: Cho số phức (z = sqrt{3} + i). Tìm argument chính của số phức (z).
- A. (frac{pi}{2})
- B. (frac{pi}{6})
- C. (frac{pi}{4})
- D. (frac{pi}{6})
Câu 23: Cho tích vô hướng Euclid trong (mathbb{R}^2). Tìm hình chiếu trực giao của vectơ (u = (3, 4)) lên vectơ (v = (1, 1)).
- A. ((2, 2))
- B. ((7/2, 7/2))
- C. ((3, 3))
- D. ((4, 4))
Câu 24: Cho không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (Ax = 0) có số chiều là 2. Nếu ma trận A có kích thước (5 imes n), thì n bằng bao nhiêu?
Câu 25: Cho ma trận (A) vuông cấp 3. Biết rằng (v_1, v_2, v_3) là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng (lambda_1 = 1, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3). Hệ vectơ ({v_1, v_2, v_3}) như thế nào?
- A. Độc lập tuyến tính
- B. Phụ thuộc tuyến tính
- C. Có thể độc lập hoặc phụ thuộc tuyến tính
- D. Chỉ độc lập tuyến tính khi A là ma trận đối xứng
Câu 26: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 2 & 3 & 0 4 & 5 & 6 end{pmatrix}). Tính tích các giá trị riêng của ma trận A.
Câu 27: Cho không gian vectơ (mathbb{R}^3) với cơ sở chính tắc (mathcal{B} = {e_1, e_2, e_3}). Xét vectơ (v = 2e_1 - e_2 + 3e_3). Tìm tọa độ của vectơ (v) đối với cơ sở (mathcal{B}).
- A. ((1, -1, 3))
- B. ((2, 1, 3))
- C. ((2, -1, 3))
- D. ((-1, 2, 3))
Câu 28: Cho hệ phương trình tuyến tính (Ax = b). Điều kiện nào sau đây đảm bảo hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
- A. rank(A) < rank((overline{A}))
- B. rank(A) < số ẩn
- C. det(A) = 0
- D. rank(A) = rank((overline{A})) = số ẩn
Câu 29: Cho ma trận (A = egin{pmatrix} cos heta & -sin heta sin heta & cos heta end{pmatrix}). Đây là ma trận biểu diễn cho phép biến đổi hình học nào trong (mathbb{R}^2)?
- A. Phép quay quanh gốc tọa độ một góc ( heta)
- B. Phép chiếu vuông góc lên trục Ox
- C. Phép đối xứng qua trục Oy
- D. Phép tỉ lệ với tỉ số (cos heta)
Câu 30: Cho không gian vectơ (V) và (W) là các không gian con của (V). Mệnh đề nào sau đây **luôn đúng**?
- A. (V cup W) là không gian con của (V)
- B. (V cap W) là không gian con của (V)
- D. Nếu (V cap W = {0}) thì (dim(V + W) < dim(V) + dim(W))
