Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online – Môn Đại Số Tuyến Tính – Đề 10

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là **sai** về định thức của ma trận A?

• A. det(A) = det(A^T), với A^T là ma trận chuyển vị của A.
• B. Nếu nhân một hàng của A với một số vô hướng k, định thức của ma trận mới là k*det(A).
• C. Nếu A và B là hai ma trận vuông cấp n, thì det(AB) = det(A) * det(B).
• D. det(A + B) = det(A) + det(B) với mọi ma trận vuông B cùng cấp.

Câu 2: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 luôn có ít nhất một nghiệm. Phát biểu nào sau đây mô tả đúng nhất về nghiệm của hệ phương trình này?

• A. Hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường (vector không).
• B. Hệ luôn có nghiệm tầm thường và có thể có vô số nghiệm không tầm thường.
• C. Hệ có thể vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường.
• D. Số lượng nghiệm của hệ phụ thuộc vào vector cột B trong hệ AX = B.

Câu 3: Cho V là không gian vector con của không gian vector Rⁿ. Điều kiện nào sau đây **không** đảm bảo V là không gian vector con của Rⁿ?

• A. Vector không của Rⁿ thuộc V.
• B. Với mọi u, v thuộc V, tổng u + v cũng thuộc V.
• C. Với mọi u thuộc V, và mọi số vô hướng c, tích c * u **không thuộc** V.
• D. V là tập hợp con khác rỗng của Rⁿ.

Câu 4: Xét phép biến đổi tuyến tính T: R² → R² biến vector (x, y) thành (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn phép biến đổi tuyến tính T đối với cơ sở chính tắc của R² là ma trận nào?

• A. [[2, 1], [1, -1]]
• B. [[2, -1], [1, 1]]
• C. [[1, 2], [-1, 1]]
• D. [[1, 1], [2, -1]]

Câu 5: Cho ma trận A = [[1, 2], [2, 4]]. Tìm cơ sở của không gian null (Null space) của ma trận A (N(A)).

• A. {[1, 2]}
• B. {[2, 1]}
• C. {[-2, 1]}
• D. {[1, -2]}

Câu 6: Giá trị riêng của ma trận A là gì? Biết rằng vector v là vector riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng λ nếu Av = λv.

• A. Vector v khác không thỏa mãn Av = λv.
• B. Số vô hướng λ sao cho tồn tại vector v khác không thỏa mãn Av = λv.
• C. Ma trận vuông A có định thức khác không.
• D. Nghiệm của phương trình tuyến tính Ax = 0.

Câu 7: Cho ma trận A vuông cấp 2 có các giá trị riêng là λ₁ và λ₂. Định thức của ma trận A bằng biểu thức nào sau đây?

• A. λ₁ + λ₂
• B. (λ₁ + λ₂) / 2
• C. λ₁ * λ₂
• D. |λ₁ - λ₂|

Câu 8: Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B. Nếu hệ phương trình này có nghiệm duy nhất, thì hạng của ma trận hệ số A (rank(A)) và hạng của ma trận bổ sung [A|B] (rank([A|B])) phải thỏa mãn điều kiện gì?

• A. rank(A) = rank([A|B]) = số ẩn
• B. rank(A) < rank([A|B])
• C. rank(A) > rank([A|B])
• D. rank(A) = rank([A|B]) < số ẩn

Câu 9: Trong không gian vector R³, xét tập hợp S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)}. Số vector tối thiểu cần loại bỏ khỏi S để S trở thành một cơ sở của R³ là bao nhiêu?

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 10: Cho hai vector u = (1, 2, -1) và v = (0, 1, 2) trong R³. Tính tích vector (tích có hướng) u x v.

• A. (5, -2, 1)
• B. (-5, 2, -1)
• C. (1, 2, -1)
• D. (5, -2, -1)

Câu 11: Trong mô hình Input-Output Leontief, ma trận hệ số kỹ thuật A được cho. Điều kiện nào sau đây cần thiết để đảm bảo mô hình kinh tế có ý nghĩa (tức là có sản lượng dương đáp ứng nhu cầu)?

• A. Tổng các phần tử trên mỗi hàng của A lớn hơn 1.
• B. Tất cả các giá trị riêng của A có môđun nhỏ hơn 1.
• C. Ma trận A là ma trận đối xứng.
• D. Định thức của A khác 0.

Câu 12: Cho phép biến đổi tuyến tính T: Rⁿ → R^m. Phát biểu nào sau đây là đúng về hạng (rank) và số chiều không ảnh (nullity) của T?

• A. rank(T) + nullity(T) = min(m, n)
• B. rank(T) - nullity(T) = n
• C. rank(T) + nullity(T) = n
• D. rank(T) * nullity(T) = n * m

Câu 13: Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch (invertible) khi nào?

• A. Khi và chỉ khi định thức của A bằng 0.
• B. Khi và chỉ khi tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I, với I là ma trận đơn vị.
• C. Khi và chỉ khi tất cả các phần tử của A khác 0.
• D. Khi và chỉ khi A là ma trận đường chéo.

Câu 14: Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu ma trận A có một giá trị riêng bằng 0, thì phát biểu nào sau đây là đúng?

• A. Ma trận A chắc chắn khả nghịch.
• B. Ma trận A là ma trận đơn vị.
• C. Ma trận A có hạng bằng n.
• D. Ma trận A không khả nghịch.

Câu 15: Cho hệ vector S = {v₁, v₂, ..., v_k} trong không gian vector V. Khi nào hệ vector S được gọi là độc lập tuyến tính?

• A. Khi và chỉ khi tổ hợp tuyến tính c₁v₁ + c₂v₂ + ... + c_kv_k = 0 chỉ xảy ra khi c₁ = c₂ = ... = c_k = 0.
• B. Khi và chỉ khi ít nhất một vector trong S là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
• C. Khi và chỉ khi số vector trong S lớn hơn số chiều của V.
• D. Khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vector bất kỳ trong S khác 0.

Câu 16: Cho không gian vector con W = span{v₁, v₂} của R³, với v₁ = (1, 1, 0) và v₂ = (2, 2, 0). Số chiều của không gian vector W (dim(W)) là bao nhiêu?

• A. 2
• B. 1
• C. 3
• D. 0

Câu 17: Cho ma trận A = [[2, -1], [-4, 2]]. Tìm giá trị riêng của ma trận A.

• A. λ = 2, λ = -2
• B. λ = 2, λ = 0
• C. λ = 0, λ = 4
• D. λ = 4, λ = -4

Câu 18: Cho hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất AX = B. Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình có nghiệm là gì?

• A. rank(A) = rank([A|B])
• B. rank(A) < rank([A|B])
• C. rank(A) > rank([A|B])
• D. det(A) ≠ 0

Câu 19: Cho ma trận A vuông cấp n. Phát biểu nào sau đây là **đúng** về tích của các giá trị riêng của ma trận A?

• A. Bằng vết (trace) của ma trận A.
• B. Bằng định thức của ma trận A.
• C. Bằng hạng (rank) của ma trận A.
• D. Luôn bằng 1.

Câu 20: Trong không gian R², cho vector v = (3, 4). Tính độ dài (chuẩn Euclid) của vector v.

• A. √(3 + 4) = √7
• B. 3 + 4 = 7
• C. √(3² + 4²) = 5
• D. 3² + 4² = 25

Câu 21: Cho phép biến đổi tuyến tính T: R³ → R³ là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng xy. Ảnh của vector (x, y, z) qua phép biến đổi T là vector nào?

• A. (0, 0, z)
• B. (x, 0, 0)
• C. (0, y, 0)
• D. (x, y, 0)

Câu 22: Cho ma trận A = [[1, 0], [0, -1]]. Phép biến đổi tuyến tính tương ứng với ma trận A trong R² là phép biến đổi nào?

• A. Phép quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ.
• B. Phép đối xứng qua trục x.
• C. Phép co giãn đều.
• D. Phép chiếu lên trục y.

Câu 23: Cho không gian vector V và W là các không gian vector con của V. Tập hợp giao W ∩ Z có phải luôn là không gian vector con của V không?

• A. Có, W ∩ Z luôn là không gian vector con của V.
• B. Không, W ∩ Z không phải lúc nào cũng là không gian vector con của V.
• C. Chỉ khi W = Z thì W ∩ Z mới là không gian vector con của V.
• D. Điều này phụ thuộc vào số chiều của V.

Câu 24: Cho ma trận A và vector b. Xét hệ phương trình Ax = b. Nếu số ẩn lớn hơn số phương trình, hệ phương trình này có thể có bao nhiêu nghiệm?

• A. Luôn có nghiệm duy nhất.
• B. Luôn vô nghiệm.
• C. Có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
• D. Luôn có hữu hạn nghiệm (một hoặc nhiều).

Câu 25: Cho ma trận vuông A cấp n. Điều kiện nào sau đây **không** tương đương với việc ma trận A khả nghịch?

• A. Định thức của A khác 0.
• B. Hệ phương trình AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường.
• C. Hạng của ma trận A bằng n.
• D. Tất cả các giá trị riêng của A đều bằng 0.

Câu 26: Cho không gian vector R³ với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu vuông góc của vector u = (1, 2, 3) lên vector v = (1, 1, 0).

• A. (1, 1, 1)
• B. (3/2, 3/2, 0)
• C. (2, 2, 0)
• D. (1/2, 1/2, 0)

Câu 27: Cho ma trận A vuông cấp n. Tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A được gọi là gì?

• A. Định thức của A.
• B. Hạng của A.
• C. Vết (trace) của A.
• D. Chuẩn Frobenius của A.

Câu 28: Cho ma trận A là ma trận vuông đối xứng. Các giá trị riêng của ma trận A có tính chất gì đặc biệt?

• A. Luôn là số thực.
• B. Luôn là số phức.
• C. Luôn là số nguyên.
• D. Có thể là số thực hoặc số phức.

Câu 29: Cho phép biến đổi tuyến tính T: V → W. Tập hợp tất cả các vector v thuộc V sao cho T(v) = 0 được gọi là gì?

• A. Ảnh của T (Image of T).
• B. Không gian cột của T (Column space of T).
• C. Không gian hàng của T (Row space of T).
• D. Không gian nhân của T (Kernel of T) hay không gian null của T.

Câu 30: Cho ma trận A vuông cấp n và λ là một giá trị riêng của A. Không gian con riêng ứng với giá trị riêng λ là tập hợp nào?

• A. Tập hợp tất cả các vector v sao cho Av = λv và v ≠ 0.
• B. Tập hợp tất cả các vector v sao cho Av = λv.
• C. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A.
• D. Tập hợp tất cả các vector cột của A.