Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 01 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y^2 + xy^4. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2z/∂x∂y.
- A. 6xy + 12xy^2
- B. 6xy + 4y^3
- C. 3x^2y^2 + 4xy^3
- D. 6x^2y + 4y^3
Câu 2: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13. Điểm cực tiểu địa phương (nếu có) là:
- A. Không có cực trị địa phương
- B. Cực đại địa phương tại (-2, 3)
- C. Cực tiểu địa phương tại (2, -3)
- D. Cực tiểu địa phương tại (-2, -3)
Câu 3: Tính tích phân kép ∫∫D (x + 2y) dA, với D là miền giới hạn bởi các đường y = x^2 và y = x.
- A. 5/12
- B. 7/12
- C. 1/3
- D. 7/24
Câu 4: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (2x, -y, z^2). Tính div(F) tại điểm (1, 2, -1).
Câu 5: Tính tích phân đường loại 2 ∫C (x^2 dy - y^2 dx), với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 6: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x^2 + y^2 và mặt phẳng z = 4.
- A. 4π
- B. 16π/3
- C. 8π
- D. 32π/3
Câu 7: Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính gradient của f tại điểm (1, 1).
- A. (e, e)
- B. (1, 1)
- C. (e, 2e)
- D. (e, e)
Câu 8: Tính tích phân bội ba ∫∫∫V dV, với V là hình hộp chữ nhật giới hạn bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Câu 9: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5).
- A. 2x + 4y - z = 5
- B. x + 2y - z = 0
- C. 2x + 4y - z = 5
- D. x + 2y + z = 8
Câu 10: Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x). Tính curl(F) tại điểm bất kỳ.
Câu 11: Chuyển tích phân kép từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực: ∫∫R f(x, y) dA, với R là hình tròn x^2 + y^2 ≤ 9.
- A. ∫0^(2π) ∫0^3 f(r cosθ, r sinθ) dr dθ
- B. ∫0^(2π) ∫0^3 f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
- C. ∫0^(π) ∫0^3 f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
- D. ∫0^(2π) ∫0^9 f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ
Câu 12: Tính diện tích bề mặt của phần mặt paraboloid z = x^2 + y^2 nằm dưới mặt phẳng z = 1.
- A. π/3 (2√2 - 1)
- B. π/6 (5√5 - 1)
- C. π/6 (5√5 - 1)
- D. π/3 (5√5 + 1)
Câu 13: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (y, z, x). Tính tích phân đường ∫C F · dr, với C là đường thẳng từ (0, 0, 0) đến (1, 1, 1).
Câu 14: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (n=1 đến ∞) (x^n) / n^2.
- A. (-1, 1)
- B. [-1, 1]
- C. (-∞, ∞)
- D. Chỉ hội tụ tại x = 0
Câu 15: Tính tích phân mặt ∫∫S F · n dS, với F(x, y, z) = (x, y, z) và S là mặt cầu đơn vị x^2 + y^2 + z^2 = 1, n là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài.
Câu 16: Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 0).
- A. 1
- B. √2
- C. 1/√2
- D. 1/√2
Câu 17: Sử dụng tọa độ trụ để tính tích phân bội ba ∫∫∫V z dV, với V là miền giới hạn bởi x^2 + y^2 ≤ 1 và 0 ≤ z ≤ √(x^2 + y^2).
Câu 18: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Green?
- A. Định lý Green liên hệ tích phân mặt với tích phân đường.
- B. Định lý Green áp dụng cho trường vectơ trong không gian 3 chiều.
- C. Định lý Green liên hệ tích phân đường dọc theo biên của miền phẳng với tích phân kép trên miền đó.
- D. Định lý Green chỉ áp dụng cho miền hình chữ nhật.
Câu 19: Tính công sinh bởi trường lực F(x, y) = (y, x) khi di chuyển một chất điểm dọc theo đường parabol y = x^2 từ (0, 0) đến (1, 1).
Câu 20: Giải phương trình vi phân đạo hàm riêng ∂u/∂x + ∂u/∂y = 0 bằng phương pháp đặc trưng.
- A. u(x, y) = f(x - y)
- B. u(x, y) = f(x + y)
- C. u(x, y) = f(xy)
- D. u(x, y) = f(x/y)
Câu 21: Cho tích phân lặp ∫0^1 ∫0^√(1-x^2) f(x, y) dy dx. Đổi thứ tự tích phân.
- A. ∫0^1 ∫0^√(1-y^2) f(x, y) dx dy
- B. ∫0^1 ∫0^√(1-y^2) f(x, y) dx dy
- C. ∫0^1 ∫y^1 f(x, y) dx dy
- D. ∫0^1 ∫0^y f(x, y) dx dy
Câu 22: Tính tích phân mặt ∫∫S xy dS, với S là phần mặt phẳng z = 2x + 3y nằm trong hình trụ x^2 + y^2 ≤ 1.
Câu 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Câu 24: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Stokes?
- A. Định lý Stokes liên hệ tích phân đường dọc theo biên của mặt với tích phân mặt của curl trường vectơ trên mặt đó.
- B. Định lý Stokes áp dụng cho trường vectơ trong không gian 2 chiều.
- C. Định lý Stokes liên hệ tích phân mặt kín với tích phân bội ba.
- D. Định lý Stokes chỉ áp dụng cho mặt phẳng.
Câu 25: Tính thông lượng của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) qua mặt nón z = √(x^2 + y^2), 0 ≤ z ≤ 1, hướng xuống dưới.
- A. π
- B. -2π/3
- C. 2π/3
- D. -π
Câu 26: Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm vi phân toàn phần df.
- A. df = 2x dx + 2y dy
- B. df = x dx + y dy
- C. df = 2x dx + 2y dy
- D. df = (2x + 2y) dx dy
Câu 27: Sử dụng tọa độ cầu để tính tích phân bội ba ∫∫∫V e^(√(x^2+y^2+z^2)) dV, với V là khối cầu x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1.
- A. 2π(e - 2)
- B. 4π(e - 2)
- C. 2π(2 - e)
- D. 4π(e - 2)
Câu 28: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để F là trường vectơ bảo toàn?
- A. div(F) = 0
- B. curl(F) = 0
- C. grad(div(F)) = 0
- D. curl(curl(F)) = 0
Câu 29: Tính tích phân đường ∫C (x dy + y dx) trên đường cong C cho bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π.
Câu 30: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Divergence (Gauss)?
- A. Định lý Divergence liên hệ tích phân đường với tích phân mặt.
- B. Định lý Divergence áp dụng cho trường vectơ trong không gian 2 chiều.
- C. Định lý Divergence liên hệ tích phân mặt trên mặt hở với tích phân kép.
- D. Định lý Divergence liên hệ thông lượng của trường vectơ qua mặt kín với tích phân bội ba của divergence bên trong mặt đó.
