Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 02 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²f/∂x∂y.
Câu 2: Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = e^(x^2 + y).
- A. dz = e^(x^2 + y) (dx + dy)
- B. dz = e^(x^2 + y) (2x dx + dy)
- C. dz = 2x e^(x^2 + y) dx
- D. dz = e^(x^2 + y) dy
Câu 3: Cho vectơ vận tốc của một chất điểm chuyển động trong không gian là v(t) = (2t, 3t^2, 1). Tìm vectơ gia tốc a(t) của chất điểm.
- A. a(t) = (2, 6t, 0)
- B. a(t) = (t^2, t^3, t)
- C. a(t) = (0, 6, 0)
- D. a(t) = (2t^2, 3t^3, t)
Câu 4: Tính tích phân đường loại 2 ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ điểm A(0, 0) đến B(1, 2).
- A. √5
- B. 2√5
- C. 3√5/2
- D. 5√5/2
Câu 5: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (x-2)^n / n^2 từ n=1 đến vô cùng.
- A. (1, 3)
- B. [1, 3]
- C. (−∞, +∞)
- D. {2}
Câu 6: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x^2 + y^2 và mặt phẳng z = 4.
Câu 7: Cho trường vectơ F(x, y) = (y, -x). Tính div(F) và curl(F).
- A. div(F) = 2, curl(F) = 0
- B. div(F) = 0, curl(F) = 2
- C. div(F) = -2, curl(F) = 0
- D. div(F) = 0, curl(F) = -2
Câu 8: Tìm cực trị tự do của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.
- A. Cực tiểu tại (1, 1), không có cực đại
- B. Cực đại tại (1, 1), không có cực tiểu
- C. Cực tiểu tại (-1, -1), không có cực đại
- D. Cực đại tại (-1, -1), không có cực tiểu
Câu 9: Tính tích phân bội ba ∫∫∫V dV, với V là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Câu 10: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫C (y^2 dx + x dy), với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 11: Cho hàm số f(x, y) = xy / (x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại gốc tọa độ không?
- A. Liên tục
- B. Không liên tục
- C. Liên tục theo x nhưng không liên tục theo y
- D. Liên tục theo y nhưng không liên tục theo x
Câu 12: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt z = x^2 - y^2 tại điểm (2, 1, 3).
- A. 4x - 2y - z = 3
- B. 2x - y - z = 0
- C. 4x + 2y + z = 15
- D. 4x - 2y - z = 3
Câu 13: Tính tích phân suy rộng ∫∫R^2 e^(-x^2 - y^2) dA trên toàn mặt phẳng xy.
Câu 14: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z). Tính thông lượng của F qua mặt cầu đơn vị S: x^2 + y^2 + z^2 = 1, hướng ra ngoài.
Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đạo hàm riêng ∂z/∂x = 2x + y.
- A. z = x^2 + xy + C(x)
- B. z = x^2 + xy + C
- C. z = x^2 + xy + C(y)
- D. z = y^2 + xy + C(x)
Câu 16: Tính tích phân đường ∫C F · dr, với F(x, y) = (y, x) và C là đường cong tham số r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2.
Câu 17: Xác định tính hội tụ của tích phân ∫∫D (1 / (x^2 + y^2)) dA, với D là miền tròn x^2 + y^2 ≤ 1.
- A. Hội tụ
- B. Phân kỳ
- C. Hội tụ tuyệt đối
- D. Bán hội tụ
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy trên miền D: x^2 + y^2 ≤ 4.
Câu 19: Cho hàm số z = f(x, y) khả vi. Biết tại điểm (1, 2), ∂f/∂x = 3 và ∂f/∂y = -1. Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 2).
Câu 20: Sử dụng tọa độ trụ để tính tích phân bội ba ∫∫∫V z dV, với V là miền trụ x^2 + y^2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2.
Câu 21: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây là điều kiện cần và đủ để F là trường vectơ bảo toàn?
- A. div F = 0
- B. curl F = 0
- C. P_x + Q_y + R_z = 0
- D. P_y = Q_x, P_z = R_x, Q_z = R_y
Câu 22: Tính diện tích mặt S: z = x^2 + y^2, với x^2 + y^2 ≤ 1.
- A. π/6 (5√5 - 1)
- B. π/3 (2√2 - 1)
- C. π/6 (5√5 - 1)
- D. π/2 (3√3 - 1)
Câu 23: Tìm khai triển Taylor đến cấp 2 của hàm số f(x, y) = sin(xy) tại điểm (0, 0).
- A. xy
- B. 1 + xy
- C. 1 - xy
- D. xy
Câu 24: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x, y = 2x, x = 1. Tính ∫∫D xy dA.
- A. 1/4
- B. 3/4
- C. 1/2
- D. 1
Câu 25: Phát biểu nào sau đây là đúng về định lý Stokes?
- A. Liên hệ giữa tích phân đường kín và tích phân kép trên miền phẳng.
- B. Liên hệ giữa thông lượng của trường vectơ và tích phân đường.
- C. Liên hệ giữa tích phân đường kín trên biên của mặt và tích phân mặt của curl.
- D. Liên hệ giữa tích phân mặt kín và tích phân bội ba của divergence.
Câu 26: Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi T(r, θ) = (r cos θ, r sin θ).
- A. [[cos θ, -r sin θ], [sin θ, r cos θ]]
- B. [[-sin θ, r cos θ], [cos θ, -r sin θ]]
- C. [[r cos θ, -sin θ], [r sin θ, cos θ]]
- D. [[cos θ, sin θ], [-r sin θ, r cos θ]]
Câu 27: Tính công của trường lực F(x, y) = (x^2, y) khi chất điểm di chuyển dọc theo đường parabol y = x^2 từ (0, 0) đến (1, 1).
- A. 1/2
- B. 2/3
- C. 5/6
- D. 7/6
Câu 28: Cho hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Tìm tốc độ thay đổi lớn nhất của f tại điểm (1, 1, 1).
Câu 29: Sử dụng tọa độ cầu để tính tích phân bội ba ∫∫∫V dV, với V là nửa hình cầu x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1, z ≥ 0.
- A. 2π/3
- B. π/3
- C. 2π/3
- D. 4π/3
Câu 30: Cho mặt S là phần của mặt phẳng 2x + 2y + z = 6 nằm trong октан thứ nhất. Tính ∫∫S (x + y + z) dS.
- A. 27√9/2
- B. 9√9/2
- C. 27√3
- D. 9√3
