Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 03 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3 - 3xy + y^2. Tìm điểm dừng (critical point) của hàm số này.
- A. (0, 0) và (1, 1)
- B. (0, 0) và (2, 3)
- C. (1, 2) và (2, 1)
- D. (-1, -1) và (2, 2)
Câu 2: Tính tích phân đường loại 2 của trường vectơ F(x, y) = (y, -x) dọc theo đường tròn đơn vị C, tham số hóa bởi r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.
Câu 3: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x^2 và y = 2x. Tính diện tích miền D.
- A. 1/3
- B. 2/3
- C. 4/3
- D. 5/3
Câu 4: Tìm gradient của hàm số f(x, y, z) = xy^2z^3 tại điểm P(1, -1, 1).
- A. (-1, 2, 1)
- B. (1, -2, 3)
- C. (1, 2, 3)
- D. (-1, -2, -3)
Câu 5: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫_C (y^2 dx + x dy), với C là biên của hình vuông có các đỉnh (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 6: Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y^2). Tìm đạo hàm theo hướng của f tại điểm (1, 0) theo hướng vectơ v = (1, 1).
Câu 7: Tính tích phân bội ba ∫∫∫_E x dV, với E là khối hộp chữ nhật xác định bởi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Câu 8: Xác định hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số ∑_(n=1)^∞ ((-1)^n)/(√n).
- A. Hội tụ có điều kiện
- B. Hội tụ tuyệt đối
- C. Phân kỳ
- D. Không xác định được
Câu 9: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 12y.
- A. Cực đại tại (-1, -2), cực tiểu tại (1, 2)
- B. Cực đại tại (-1, -2), cực tiểu tại (1, 2), điểm yên ngựa tại (-1, 2) và (1, -2)
- C. Chỉ có cực tiểu tại (1, 2)
- D. Không có cực trị địa phương
Câu 10: Tính công của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong C tham số hóa bởi r(t) = (t, t^2, t^3) từ t = 0 đến t = 1.
Câu 11: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n.
- A. (-1, 1)
- B. [-2, 2]
- C. (-2, 2)
- D. R
Câu 12: Tính thông lượng (flux) của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) qua mặt S là mặt cầu đơn vị x^2 + y^2 + z^2 = 1, hướng ra ngoài.
Câu 13: Phương trình tiếp diện với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 1, 2) là gì?
- A. x + y - z = 0
- B. 2x + 2y + z = 6
- C. x + y + z = 4
- D. 2x + 2y - z = 2
Câu 14: Tính tích phân ∫_(0)^(∞) xe^(-x^2) dx.
- A. 1/2
- B. 1
- C. 2
- D. ∞ (phân kỳ)
Câu 15: Tìm đạo hàm riêng cấp hai ∂^2z/∂x∂y của hàm số z = sin(xy).
- A. -x^2cos(xy)
- B. y^2cos(xy)
- C. cos(xy) - xy sin(xy)
- D. -sin(xy) - xy cos(xy)
Câu 16: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (P, Q, R). Điều kiện nào sau đây để F là trường vectơ bảo toàn?
- A. ∂P/∂x = ∂Q/∂y = ∂R/∂z
- B. ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ∂P/∂z = ∂R/∂x, ∂Q/∂z = ∂R/∂y
- C. ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z = 0
- D. P + Q + R = C (hằng số)
Câu 17: Sử dụng tọa độ cực để tính tích phân kép ∫∫_D e^(-(x^2+y^2)) dA, với D là hình tròn x^2 + y^2 ≤ 4.
- A. π(1 - e^(-4))
- B. 2π(1 - e^(-2))
- C. π(1 - e^(-4))
- D. 2π(1 - e^(-4))
Câu 18: Tìm chuỗi Taylor của hàm số f(x) = ln(1 + x) tại x = 0.
- A. ∑_(n=1)^∞ (x^n)/n
- B. ∑_(n=0)^∞ (x^n)/(n!)
- C. ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) (x^n)/(n!)
- D. ∑_(n=1)^∞ (-1)^(n+1) (x^n)/n
Câu 19: Tính diện tích mặt của phần mặt nón z = √(x^2 + y^2) nằm dưới mặt phẳng z = 3.
- A. 9π
- B. 9π√2
- C. 18π
- D. 18π√2
Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tìm giá trị lớn nhất của f trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 1}.
Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y"" - 4y" + 4y = 0.
- A. y = C1e^(2x) + C2e^(-2x)
- B. y = C1cos(2x) + C2sin(2x)
- C. y = C1e^(2x) + C2xe^(2x)
- D. y = (C1 + C2x)cos(2x)
Câu 22: Tính tích phân đường ∫_C (x^2 + y^2) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (3, 4).
Câu 23: Cho hàm số f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. Tính div(∇f).
Câu 24: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (n!)(x)^n.
Câu 25: Tính tích phân ∫_(0)^(1) ∫_(y)^(1) sin(x^2) dx dy. Đổi thứ tự tích phân.
- A. (1 - cos(1))/2
- B. cos(1) - 1
- C. sin(1)/2
- D. 1 - cos(1)
Câu 26: Cho trường vectơ F(x, y) = (-y, x)/(x^2 + y^2). Tính curl(F) tại điểm (1, 1).
Câu 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x trên hình tròn đóng x^2 + y^2 ≤ 4.
Câu 28: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = x^2 + y^2 và mặt phẳng z = 4.
Câu 29: Chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p) hội tụ khi nào?
- A. p ≤ 1
- B. p < 1
- C. p = 1
- D. p > 1
Câu 30: Cho hàm số f(x,y) khả vi. Biết ∇f(2,3) = (4, -1). Tính đạo hàm theo hướng của f tại (2,3) theo hướng vectơ chỉ phương của đường thẳng y = 2x + 3.
- A. 2/√5
- B. √5
- C. 3/√5
- D. 5/√5
