Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 04 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số z = f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 3x. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂²z/∂x∂y.
- A. 3x² - 4y
- B. 3x² - 4y²
- C. 6xy - 4y
- D. 6xy - 4
Câu 2: Tìm vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y).
- A. df = 2xe^(x^2 + y)dx + e^(x^2 + y)dy
- B. df = e^(x^2 + y)dx + e^(x^2 + y)dy
- C. df = 2xe^(x^2 + y)dx + x²e^(x^2 + y)dy
- D. df = e^(2x + 1)dxdy
Câu 3: Cho trường vectơ F(x, y, z) = (2x, -y, z^2). Tính div(F) tại điểm (1, 2, -1).
Câu 4: Tính tích phân đường loại 1 ∫C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ điểm A(0, 0) đến B(1, 1).
Câu 5: Tính tích phân bội hai ∫∫D (x^2 + y^2) dA, với D là hình tròn đơn vị x² + y² ≤ 1.
Câu 6: Phương trình tiếp diện của mặt z = x² + y² tại điểm (1, 2, 5) là:
- A. z - 5 = (x - 1) + 2(y - 2)
- B. z = x + 2y + 2
- C. z - 5 = 2x(x - 1) + 2y(y - 2)
- D. z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)
Câu 7: Cho hàm số f(x, y) = xy/(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Xét tính liên tục của f(x, y) tại (0, 0).
- A. Liên tục theo biến x nhưng không liên tục theo biến y.
- B. Liên tục theo biến y nhưng không liên tục theo biến x.
- C. Không liên tục tại (0, 0).
- D. Liên tục tại (0, 0).
Câu 8: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(n=1 đến ∞) (x - 2)^n / n^2.
- A. (1, 3)
- B. [1, 3]
- C. (−∞, +∞)
- D. {2}
Câu 9: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.
- A. Có cực tiểu địa phương tại (1, 1) và điểm yên ngựa tại (0, 0).
- B. Có cực đại địa phương tại (1, 1) và điểm yên ngựa tại (0, 0).
- C. Có cực tiểu địa phương tại (1, 1) và cực đại địa phương tại (0, 0).
- D. Không có cực trị địa phương.
Câu 10: Tính rot(F) cho trường vectơ F(x, y, z) = (y sin(z), x cos(z), xy).
- A. (x sin(z) - y cos(z), -y sin(z), cos(z) - sin(z))
- B. (x sin(z) + y cos(z), y sin(z), cos(z) + sin(z))
- C. (-x sin(z), -y cos(z), cos(z) - sin(z))
- D. (x cos(z), y sin(z), sin(z) + cos(z))
Câu 11: Cho mặt S là phần mặt paraboloid z = 4 - x² - y² nằm trên mặt phẳng xy. Tính diện tích mặt S.
- A. 4π
- B. (8π√2)/3
- C. 8π
- D. (16π√2)/3
Câu 12: Tính tích phân đường loại 2 ∫C y dx + x dy, với C là đường tròn x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 13: Chuyển tích phân ∫(0 đến 1) ∫(0 đến √(1-x²)) ∫(0 đến √(1-x²-y²)) f(x, y, z) dz dy dx sang tọa độ cầu.
- A. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến 1) f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ²sinφ dρ dφ dθ
- B. ∫(0 đến π) ∫(0 đến π) ∫(0 đến 1) f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ²sinφ dρ dφ dθ
- C. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến 1) f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ²sinφ dρ dθ dφ
- D. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến π) ∫(0 đến 1) f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ² dρ dφ dθ
Câu 14: Tính công của trường lực F(x, y) = (y², x) dọc theo đường cong C: r(t) = (cos(t), sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2.
- A. π/4
- B. -π/4
- C. π/2
- D. 0
Câu 15: Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi T(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)).
- A. [[cos(θ), -r sin(θ)], [sin(θ), r cos(θ)]]
- B. [[cos(θ), -r sin(θ)], [sin(θ), r cos(θ)]]
- C. [[-sin(θ), r cos(θ)], [cos(θ), r sin(θ)]]
- D. [[r cos(θ), -sin(θ)], [r sin(θ), cos(θ)]]
Câu 16: Cho miền D giới hạn bởi y = x², y = 4. Tính ∫∫D x dA.
- A. 16/3
- B. -16/3
- C. 0
- D. 8/3
Câu 17: Sử dụng định lý Stokes để tính ∫C F · dr, với F = (y, z, x) và C là giao tuyến của mặt x² + y² + z² = 1 và z = 0, hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trục Oz dương.
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x, y) = xy trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Câu 19: Tính thông lượng của trường vectơ F(x, y, z) = (x, y, z) qua mặt S là mặt cầu đơn vị x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài.
Câu 20: Chuỗi Taylor của hàm f(x) = sin(x) tại x = 0 là:
- A. ∑(n=0 đến ∞) (-1)^n x^(2n) / (2n)!
- B. ∑(n=0 đến ∞) x^n / n!
- C. ∑(n=0 đến ∞) (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!
- D. ∑(n=0 đến ∞) x^(2n+1) / (2n+1)!
Câu 21: Tính tích phân ∫(0 đến ∞) e^(-x²) dx.
- A. 1
- B. √π
- C. π/2
- D. √(π)/2
Câu 22: Cho hàm số f(x, y) = ln(x² + y²). Tính ∇²f (toán tử Laplace của f).
- A. 2/(x² + y²)
- B. 0
- C. 4/(x² + y²)
- D. -2/(x² + y²)
Câu 23: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần (2xy + y²) dx + (x² + 2xy) dy = 0.
- A. x²y + xy² = C
- B. x²y - xy² = C
- C. xy² + y³ = C
- D. x³y + xy² = C
Câu 24: Tính ∫∫∫V dV, với V là hình hộp chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3.
Câu 25: Cho hàm số f(x, y) = e^(xy). Tính đạo hàm theo hướng của vectơ v = (1, 1) tại điểm (1, 0).
- A. e
- B. e/√2
- C. 2e
- D. √2e
Câu 26: Xác định tính hội tụ của tích phân suy rộng loại 1 ∫(1 đến ∞) 1/x^p dx theo tham số p.
- A. Hội tụ với mọi p.
- B. Phân kỳ với mọi p.
- C. Hội tụ khi p < 1.
- D. Hội tụ khi p > 1.
Câu 27: Tìm chuỗi Fourier sin của hàm f(x) = x trên [0, π].
- A. ∑(n=1 đến ∞) (2(-1)^n / n) sin(nx)
- B. ∑(n=1 đến ∞) (2 / n) sin(nx)
- C. ∑(n=1 đến ∞) (2(-1)^(n+1) / n) sin(nx)
- D. ∑(n=1 đến ∞) (4 / (nπ)) sin(nx)
Câu 28: Cho trường vectơ bảo toàn F. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. rot(F) ≠ 0
- B. rot(F) = 0
- C. div(F) = 0
- D. Thông lượng qua mọi mặt kín khác 0.
Câu 29: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r = 2cos(θ).
Câu 30: Ứng dụng của tích phân bội ba trong vật lý là gì?
- A. Tính khối lượng của vật thể có mật độ thay đổi.
- B. Tính diện tích bề mặt cong.
- C. Tính độ dài đường cong trong không gian.
- D. Tính công của lực dọc theo đường cong.
