Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 - Đề 06 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số hai biến z = f(x, y) = x^3y - 2xy^2 + 5. Tính đạo hàm riêng cấp hai của z theo x, sau đó theo y, tức là ∂²z/∂y∂x.
- A. 6xy - 4y
- B. 3x² - 4y
- C. 3x² - 4y
- D. 6x - 4y²
Câu 2: Tìm vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y).
- A. df = e^(x^2 + y) (2x + 1) dx
- B. df = e^(x^2 + y) (2x dx + dy)
- C. df = (2x e^(x^2 + y) + e^(x^2 + y)) dx dy
- D. df = 2x e^(x^2 + y) dx + dy
Câu 3: Tính tích phân kép ∫∫_D (x + 2y) dA, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và x + y = 1.
- A. 1/2
- B. 2/3
- C. 5/6
- D. 7/6
Câu 4: Chuyển tích phân ∫₀¹ ∫₀^(√(1-x²)) √(x² + y²) dy dx sang tọa độ cực và xác định cận tích phân mới.
- A. ∫₀^(π/2) ∫₀¹ r² dr dθ
- B. ∫₀^(π) ∫₀¹ r² dr dθ
- C. ∫₀^(π/2) ∫₀¹ r dr dθ
- D. ∫₀^(π) ∫₀¹ r dr dθ
Câu 5: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid z = 4 - x² - y² và mặt phẳng xy.
Câu 6: Cho trường vectơ F(x, y) = <2xy, x² + 3y²>. Tính công của trường vectơ F khi di chuyển một hạt dọc theo đường cong C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 2).
Câu 7: Xác định xem trường vectơ F(x, y) = có phải là trường vectơGradient (trường bảo toàn) hay không.
- A. Có, vì ∂P/∂y = ∂Q/∂x
- B. Không, vì ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x
- C. Có, vì ∂P/∂x = ∂Q/∂y
- D. Không thể xác định
Câu 8: Tính tích phân đường loại hai ∫_C (x dy - y dx) dọc theo đường tròn đơn vị C: x² + y² = 1, ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 9: Sử dụng định lý Green để tính tích phân đường ∫_C (x²y dx + xy² dy), với C là biên của miền D giới hạn bởi y = x² và y = x.
- A. 1/12
- B. 1/6
- C. 1/4
- D. 1/3
Câu 10: Tính diện tích bề mặt của phần mặt nón z = √(x² + y²) nằm trong hình trụ x² + y² = 1.
- A. π/2
- B. π√2
- C. 2π
- D. 2π√2
Câu 11: Tính tích phân mặt ∫∫_S F · dS, với F = và S là mặt cầu đơn vị x² + y² + z² = 1, hướng ra ngoài.
Câu 12: Cho hàm số f(x, y, z) = xyz. Tính gradient của f tại điểm (1, 2, 3).
- A. <1, 2, 3>
- B. <6, 3, 2>
- C. <2, 3, 6>
- D. <6, 3, 2>
Câu 13: Tính divergence của trường vectơ F(x, y, z) = .
- A. 2x + 3y + 4z
- B. 2x + 3y² + 4z³
- C. <2x, 3y², 4z³>
- D. x² + y³ + z⁴
Câu 14: Tính curl của trường vectơ F(x, y, z) = .
- A. <0, 0, 0>
- B.
- C. <1, 1, 1>
- D.
Câu 15: Sử dụng định lý Stokes để tính tích phân đường ∫_C F · dr, với F = <-y², x, z²> và C là giao tuyến của mặt trụ x² + y² = 1 và mặt phẳng z = 2, hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ trên xuống.
Câu 16: Tìm cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x³ + y³ - 3xy.
- A. Không có cực trị
- B. Cực đại tại (1, 1)
- C. Cực tiểu tại (0, 0)
- D. Cực tiểu tại (1, 1) và điểm yên ngựa tại (0, 0)
Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x, y) = x² + y² trên miền D = {(x, y) | x² + y² ≤ 4}.
- A. Max: 2, Min: 0
- B. Max: 4, Min: 0
- C. Max: 4, Min: 2
- D. Max: 8, Min: 0
Câu 18: Sử dụng nhân tử Lagrange để tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = xy với điều kiện x + y = 1.
Câu 19: Tính tích phân bội ba ∫∫∫_V z dV, trong đó V là miền giới hạn bởi mặt phẳng z = 0 và mặt nón z = √(x² + y²) và hình trụ x² + y² = 1.
Câu 20: Chuyển tích phân ∫∫∫_V f(x, y, z) dV từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu.
- A. ∫∫∫ f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ²sinφ dρ dφ dθ
- B. ∫∫∫ f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ²cosφ dρ dφ dθ
- C. ∫∫∫ f(ρcosθ, ρsinθ, z) ρ dz dr dθ
- D. ∫∫∫ f(r cosθ, r sinθ, z) r dz dr dθ
Câu 21: Tính Jacobian của phép biến đổi từ tọa độ cực (r, θ) sang tọa độ Descartes (x, y).
- A. 1
- B. r
- C. r²
- D. sinθcosθ
Câu 22: Cho hàm số z = ln(x² + y²). Tính ∂z/∂x.
- A. 1/(x² + y²)
- B. 2x/(x² + y²)
- C. 2x/(x² + y²)
- D. ln(2x)
Câu 23: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp tuyến với mặt z = x² + y² tại điểm (1, 1, 2).
- A. z - 2 = (x - 1) + (y - 1)
- B. z = 2x + 2y
- C. z - 2 = 2x + 2y
- D. z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
Câu 24: Tính tích phân đường ∫_C (x + y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (3, 4).
Câu 25: Cho trường vectơ F(x, y, z) = . Điều kiện nào sau đây là cần và đủ để F là trường vectơ bảo toàn trong miền đơn liên?
- A. div F = 0
- B. curl F ≠ 0
- C. curl F = 0
- D. grad(div F) = 0
Câu 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r = 2cos(θ) trong tọa độ cực.
Câu 27: Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ (x/2)^n.
- A. (-2, 2]
- B. (-2, 2)
- C. [-2, 2]
- D. [-2, 2)
Câu 28: Tìm đạo hàm của hàm vectơ r(t) = .
- A. <2t, cos(t), e>
- B.
- C. <2t, cos(t), e^t>
- D. <2, -sin(t), e^t>
Câu 29: Tính tích phân bất định ∫∫ (x² + y²) dx dy.
- A. (x³/3 + xy²) + C
- B. (x³y/3 + xy³/3) + C
- C. (x³/3 + y³/3) + C
- D. (x³/3)y + (y³/3)x + C(x) + D(y)
Câu 30: Cho hàm số f(x, y) = { (xy)/(x² + y²) nếu (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 nếu (x, y) = (0, 0) }. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?
- A. Có, vì giới hạn tồn tại và bằng f(0, 0)
- B. Không, vì giới hạn không tồn tại
- C. Có, vì hàm số xác định tại (0, 0)
- D. Không thể xác định
