Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Giải Tích 3 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số z = f(x, y) = x^3y^2 + xy. Tìm đạo hàm riêng cấp một của f theo x tại điểm (1, 2).
Câu 2: Mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = x^2 + y^2 tại điểm (1, 2, 5) có phương trình là gì?
- A. z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)
- B. z - 5 = 2(x - 1) + 4(y - 2)
- C. z = 2x + 4y - 5
- D. z = x + 2y + 2
Câu 3: Tìm vi phân toàn phần của hàm số z = sin(xy).
- A. dz = ycos(xy)dx + xcos(xy)dy
- B. dz = cos(xy)dx + cos(xy)dy
- C. dz = -ycos(xy)dx - xcos(xy)dy
- D. dz = sin(xy)dx + sin(xy)dy
Câu 4: Cho hàm số f(x, y) = e^(x^2 + y). Tìm vector gradient của f tại điểm (0, ln2).
- A. ⟨0, 2⟩
- B. ⟨1, 2⟩
- C. ⟨0, 1⟩
- D. ⟨0, 2⟩
Câu 5: Tính đạo hàm theo hướng của hàm số f(x, y) = x^2y tại điểm (2, 1) theo hướng của vector v = ⟨1, 1⟩.
- A. 2√2
- B. 3√2
- C. 4√2
- D. √2
Câu 6: Tìm điểm dừng của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.
- A. (1, 1) và (0, 0)
- B. (1, -1) và (0, 0)
- C. (1, 1) và (0, 0)
- D. (-1, -1) và (0, 0)
Câu 7: Xác định cực trị địa phương của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x.
- A. Cực tiểu địa phương tại (1, 0)
- B. Cực đại địa phương tại (1, 0)
- C. Điểm yên ngựa tại (1, 0)
- D. Không có cực trị địa phương
Câu 8: Sử dụng quy tắc dây chuyền để tính ∂z/∂t, biết z = x^2y, x = t^2, y = sin(t).
- A. 4t^3sin(t) + t^4cos(t)
- B. 4t^3cos(t) + t^4sin(t)
- C. 2t^3sin(t) + t^4cos(t)
- D. 4t^3sin(t) + t^4cos(t)
Câu 9: Tìm đạo hàm riêng cấp hai ∂^2z/∂x∂y của hàm số z = x^3e^(y).
- A. 6xe^(y)
- B. 3x^2e^(y)
- C. 3x^2ye^(y)
- D. x^3e^(y)
Câu 10: Cho hàm số f(x, y) = ln(x^2 + y^2). Tính ∇^2f (Laplacian của f).
- A. 0
- B. 2/(x^2 + y^2)
- C. 0
- D. -2/(x^2 + y^2)^2
Câu 11: Tìm cực trị của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 dưới điều kiện ràng buộc x + y = 2.
- A. Cực tiểu tại (1, 1)
- B. Cực đại tại (1, 1)
- C. Điểm yên ngựa tại (1, 1)
- D. Không có cực trị
Câu 12: Tính gần đúng giá trị của (2.01)^3 * (1.98)^2 bằng vi phân toàn phần.
- A. 32.0
- B. 32.8
- C. 31.2
- D. 32.32
Câu 13: Cho hàm số z = f(x, y) khả vi. Biết ∂f/∂x = 2x + y và ∂f/∂y = x - 2y. Hỏi hàm số f(x, y) có dạng nào?
- A. f(x, y) = x^2 + xy - y^2 + C
- B. f(x, y) = x^2 + xy - y^2 + C
- C. f(x, y) = 2x^2 + xy - 2y^2 + C
- D. f(x, y) = x^2 + 2xy - y^2 + C
Câu 14: Tìm đạo hàm riêng của hàm số f(x, y, z) = xyz + x^2z theo biến z.
- A. xy
- B. x^2
- C. xy + x^2
- D. yz + x^2
Câu 15: Xác định miền xác định của hàm số f(x, y) = √(9 - x^2 - y^2).
- A. x^2 + y^2 > 9
- B. x^2 + y^2 ≤ 9
- C. x^2 + y^2 ≥ 9
- D. x^2 + y^2 < 9
Câu 16: Cho hàm số z = f(x, y) = x^2 + 2y^2. Đường cong mức ứng với z = 6 là hình gì?
- A. Đường tròn
- B. Parabol
- C. Hyperbol
- D. Elip
Câu 17: Tìm vector pháp tuyến của mặt z = xy tại điểm (2, 1, 2).
- A. ⟨1, 2, -1⟩
- B. ⟨2, 1, -1⟩
- C. ⟨1, 2, -1⟩
- D. ⟨-1, -2, 1⟩
Câu 18: Tìm giới hạn của hàm số lim(x,y)→(0,0) (x^2y)/(x^2 + y^2) nếu tồn tại.
- A. 0
- B. 1
- C. Không tồn tại
- D. Vô cùng
Câu 19: Phát biểu nào sau đây là đúng về tính liên tục của hàm số hai biến?
- A. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì nó có đạo hàm riêng tại điểm đó.
- B. Nếu hàm số liên tục tại một điểm thì giới hạn của hàm số tại điểm đó tồn tại và bằng giá trị hàm số tại điểm đó.
- C. Nếu hàm số có đạo hàm riêng tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó.
- D. Hàm số hai biến luôn liên tục trên miền xác định của nó.
Câu 20: Cho hàm số f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) khi (x, y) ≠ (0, 0) và f(0, 0) = 0. Hàm số này có liên tục tại (0, 0) không?
- A. Liên tục
- B. Liên tục dọc theo trục x nhưng không liên tục dọc theo trục y
- C. Không liên tục
- D. Liên tục nhưng không khả vi
Câu 21: Tìm ma trận Hessian của hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x^2y.
- A. [[6x-6y, -6x], [-6y, 6y]]
- B. [[6x, -6y], [-6y, 6y]]
- C. [[6x, -6y], [-6x, 6y]]
- D. [[6x-6y, -6x], [-6x, 6y]]
Câu 22: Cho hàm số z = f(x, y) = x^2y + y^3. Tính đạo hàm riêng hỗn hợp ∂^3z/∂x∂y^2.
Câu 23: Tìm cực trị tuyệt đối của hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x trên miền D = {(x, y) | x^2 + y^2 ≤ 4}.
- A. Cực đại tuyệt đối là 4, cực tiểu tuyệt đối là -1
- B. Cực đại tuyệt đối là 8, cực tiểu tuyệt đối là 0
- C. Cực đại tuyệt đối là 8, cực tiểu tuyệt đối là -1
- D. Cực đại tuyệt đối là 4, cực tiểu tuyệt đối là 0
Câu 24: Áp dụng nhân tử Lagrange để tìm giá trị lớn nhất của f(x, y) = xy dưới điều kiện x^2 + y^2 = 8.
Câu 25: Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm tốc độ thay đổi lớn nhất của f tại điểm (3, 4).
Câu 26: Trong không gian 3 chiều, phương trình z = 3 là biểu diễn hình học của đối tượng nào?
- A. Đường thẳng
- B. Mặt cầu
- C. Mặt phẳng
- D. Điểm
Câu 27: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính tích phân đường ∫C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng từ (0, 0) đến (1, 1).
- A. 1/2
- B. 1
- C. √2/2
- D. √2/6
Câu 28: Tính tích phân lặp ∫(0 đến 1) ∫(0 đến x) xy dy dx.
- A. 1/8
- B. 1/4
- C. 1/16
- D. 1/2
Câu 29: Chuyển tích phân lặp ∫(0 đến 1) ∫(0 đến √(1-x^2)) f(x, y) dy dx sang tọa độ cực.
- A. ∫(0 đến π) ∫(0 đến 1) f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ
- B. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến 1) f(rcosθ, rsinθ) r dr dθ
- C. ∫(0 đến π/2) ∫(0 đến 1) f(r, θ) r dr dθ
- D. ∫(0 đến π) ∫(0 đến 1) f(r, θ) dr dθ
Câu 30: Tính diện tích miền D giới hạn bởi y = x^2 và y = x.
- A. 1/2
- B. 1/4
- C. 1/6
- D. 1/3
