Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Toán Cao Cấp - Đề 01 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & 4 & 5 0 & 0 & 6 end{pmatrix}$. Định thức của ma trận $A^3$ bằng bao nhiêu?
- A. 36
- B. 216
- C. 1728
- D. 46656
Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Phát biểu nào sau đây là đúng về số nghiệm của hệ?
- A. Hệ luôn vô nghiệm.
- B. Hệ luôn có ít nhất một nghiệm.
- C. Hệ chỉ có nghiệm duy nhất khi $det(A)
eq 0$.
- D. Số nghiệm của hệ không phụ thuộc vào ma trận $A$.
Câu 3: Cho hàm số $f(x) = egin{cases} x^2 sin(frac{1}{x}) & ext{nếu } x
eq 0 0 & ext{nếu } x = 0 end{cases}$. Hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x=0$ không và nếu có thì $f"(0)$ bằng bao nhiêu?
- A. Không có đạo hàm tại $x=0$.
- B. Có đạo hàm và $f"(0) = 1$.
- C. Có đạo hàm và $f"(0) = -1$.
- D. Có đạo hàm và $f"(0) = 0$.
Câu 4: Tính tích phân bất định $int x e^{2x} dx$.
- A. $frac{1}{2}xe^{2x} - frac{1}{4}e^{2x} + C$
- B. $frac{1}{2}xe^{2x} + frac{1}{4}e^{2x} + C$
- C. $xe^{2x} - frac{1}{2}e^{2x} + C$
- D. $xe^{2x} + frac{1}{2}e^{2x} + C$
Câu 5: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, cho hai vectơ $u = (1, 2, -1)$ và $v = (0, 1, 3)$. Tính tích vectơ (tích có hướng) $u imes v$.
- A. $(7, -3, 1)$
- B. $(7, -3, 1)$
- C. $(5, -3, 1)$
- D. $(5, 3, -1)$
Câu 6: Xét chuỗi số $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2}{2^n}$. Chuỗi này hội tụ hay phân kỳ? Nếu hội tụ, hãy xét sự hội tụ tuyệt đối.
- A. Hội tụ tuyệt đối.
- B. Hội tụ có điều kiện.
- C. Phân kỳ.
- D. Không thể xác định sự hội tụ.
Câu 7: Cho biến cố $A$ và $B$ độc lập. Biết $P(A) = 0.6$ và $P(B) = 0.4$. Tính $P(A cup B)$.
- A. 0.24
- B. 0.76
- C. 0.76
- D. 1.0
Câu 8: Tìm cực trị của hàm số hai biến $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$.
- A. Hàm số không có cực trị.
- B. Cực tiểu tại $(1, 1)$ và điểm yên ngựa tại $(0, 0)$.
- C. Cực đại tại $(1, 1)$ và điểm yên ngựa tại $(0, 0)$.
- D. Cực đại tại $(1, 1)$ và cực tiểu tại $(0, 0)$.
Câu 9: Giải phương trình vi phân cấp một tuyến tính $y" + 2y = e^{-x}$.
- A. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
- B. $y = xe^{-x} + Ce^{-2x}$
- C. $y = e^{-2x} + Ce^{-x}$
- D. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$
Câu 10: Cho không gian vectơ $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Phát biểu nào sau đây về $V cap W$ là đúng?
- A. $V cap W$ không phải lúc nào cũng là không gian con của $V$.
- B. $V cap W$ luôn là không gian con của $V$.
- C. $V cap W$ luôn là không gian con của $W$ nhưng không chắc chắn là không gian con của $V$.
- D. $V cap W$ chỉ là không gian con của $V$ khi $W subset V$.
Câu 11: Tìm giới hạn $lim_{x o 0} frac{sin(x) - x}{x^3}$.
- A. 0
- B. $-1/2$
- C. $-1/6$
- D. Không tồn tại.
Câu 12: Trong logic mệnh đề, mệnh đề nào sau đây tương đương với $p Rightarrow q$?
- A. $p wedge q$
- B. $p vee q$
- C. $p wedge
eg q$
- D. $
eg p vee q$
Câu 13: Cho tập hợp $A = {1, 2, 3, 4, 5}$. Hỏi có bao nhiêu tập con của $A$ chứa phần tử 1?
Câu 14: Xét ánh xạ $f: mathbb{R} o mathbb{R}$ xác định bởi $f(x) = x^2 + 1$. Ánh xạ này có phải là đơn ánh, toàn ánh, song ánh không?
- A. Không đơn ánh, không toàn ánh.
- B. Đơn ánh nhưng không toàn ánh.
- C. Toàn ánh nhưng không đơn ánh.
- D. Song ánh.
Câu 15: Tính tổng của chuỗi hình học vô hạn $1 + frac{1}{3} + frac{1}{9} + frac{1}{27} + cdots$.
- A. $frac{1}{2}$
- B. $frac{2}{3}$
- C. $frac{3}{2}$
- D. Chuỗi phân kỳ.
Câu 16: Cho số phức $z = 1 + isqrt{3}$. Viết $z$ dưới dạng lượng giác.
- A. $2(cos(frac{pi}{4}) + isin(frac{pi}{4}))$
- B. $2(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
- C. $2(cos(frac{2pi}{3}) + isin(frac{2pi}{3}))$
- D. $sqrt{3}(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
Câu 17: Trong không gian $mathbb{R}^2$, cho phép biến đổi tuyến tính $T$ là phép quay quanh gốc tọa độ một góc $frac{pi}{2}$ ngược chiều kim đồng hồ. Ma trận biểu diễn của $T$ trong cơ sở chính tắc là ma trận nào?
- A. $egin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end{pmatrix}$
Câu 18: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất $y"" - 4y" + 4y = 0$.
- A. $y = (C_1 + C_2x)e^{2x}$
- B. $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$
- C. $y = C_1cos(2x) + C_2sin(2x)$
- D. $y = (C_1 + C_2x)cos(2x)$
Câu 19: Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục $X$ là $f(x) = egin{cases} cx & ext{nếu } 0 le x le 2 0 & ext{nếu } x < 0 ext{ hoặc } x > 2 end{cases}$. Tìm giá trị của hằng số $c$.
- A. $frac{1}{4}
- B. $frac{1}{2}
- C. $1
- D. $2
Câu 20: Trong lý thuyết đồ thị, đồ thị Euler là đồ thị liên thông mà mỗi đỉnh có bậc như thế nào?
- A. Bậc của mỗi đỉnh đều lẻ.
- B. Bậc của mỗi đỉnh đều chẵn hoặc lẻ.
- C. Bậc của mỗi đỉnh đều chẵn.
- D. Có ít nhất một đỉnh bậc chẵn.
Câu 21: Phương pháp số nào sau đây thường được sử dụng để giải gần đúng phương trình phi tuyến $f(x) = 0$?
- A. Phương pháp Newton-Raphson.
- B. Phép khử Gauss.
- C. Phương pháp Cramer.
- D. Phân tích LU.
Câu 22: Trong đại số trừu tượng, một nhóm $(G, )$ được gọi là Abel nếu phép toán $$ có tính chất nào?
- A. Kết hợp.
- B. Giao hoán.
- C. Có phần tử đơn vị.
- D. Có phần tử nghịch đảo.
Câu 23: Tìm đạo hàm riêng $frac{partial f}{partial x}$ của hàm số $f(x, y) = x^2y + sin(xy)$.
- A. $2xy + cos(xy)$
- B. $x^2 + ycos(xy)$
- C. $2xy + ycos(xy)$
- D. $2x + cos(xy)$
Câu 24: Tính tích phân đường $int_C (x^2 + y^2) ds$, với $C$ là đường tròn đơn vị $x^2 + y^2 = 1$.
- A. $pi$
- B. $2pi$
- C. 0
- D. $2pi$
Câu 25: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 2 & -1 -1 & 2 end{pmatrix}$. Tìm giá trị riêng của ma trận $A$.
- A. $lambda_1 = 1, lambda_2 = 2$
- B. $lambda_1 = 1, lambda_2 = 3$
- C. $lambda_1 = -1, lambda_2 = 3$
- D. $lambda_1 = -1, lambda_2 = -3$
Câu 26: Trong không gian vectơ $mathbb{R}^3$, cho cơ sở $B = {u_1 = (1, 0, 0), u_2 = (1, 1, 0), u_3 = (1, 1, 1)}$. Tìm tọa độ của vectơ $v = (2, 3, 4)$ trong cơ sở $B$.
- A. $(2, 3, 4)_B$
- B. $(4, 3, 2)_B$
- C. $(2, 1, 1)_B$
- D. $(1, 1, 2)_B$
Câu 27: Xét hàm số $f(x) = ln(1 + x)$. Tìm khai triển Taylor của $f(x)$ đến bậc 3 tại $x_0 = 0$.
- A. $x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- B. $1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + o(x^3)$
- C. $x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} + o(x^3)$
- D. $x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} + o(x^3)$
Câu 28: Một hộp chứa 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ.
- A. $frac{5}{14}
- B. $frac{1}{2}
- C. $frac{2}{7}
- D. $frac{25}{64}
Câu 29: Cho hệ phương trình vi phân $egin{cases} x"(t) = 2x(t) + y(t) y"(t) = x(t) + 2y(t) end{cases}$. Tìm ma trận hệ số của hệ.
- A. $egin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 2 & 2 1 & 1 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 1 & 1 2 & 2 end{pmatrix}$
Câu 30: Trong không gian $mathbb{R}^3$, cho mặt phẳng $(P): x + 2y - z + 3 = 0$. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
- A. $(3, 2, -1)$
- B. $(1, 2, 3)$
- C. $(1, 2, -1)$
- D. $(1, -2, 1)$
