Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Toán Cao Cấp - Đề 02 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho ma trận $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 1 & 0 end{pmatrix}$. Định thức của ma trận $A$ là bao nhiêu?
- A. 25
- B. -25
- C. 11
- D. -11
Câu 2: Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất $Ax = 0$. Phát biểu nào sau đây là đúng về nghiệm của hệ phương trình này?
- A. Hệ luôn có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường.
- B. Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
- C. Hệ vô nghiệm khi ma trận hệ số A là ma trận vuông.
- D. Số nghiệm của hệ phụ thuộc vào vector cột bên phải (vế phải).
Câu 3: Cho không gian vector $V = mathbb{R}^3$. Tập hợp nào sau đây là một cơ sở của $V$?
- A. { (1, 0, 0), (0, 1, 0) }
- B. { (1, 1, 1), (2, 2, 2), (0, 1, 0) }
- C. { (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }
- D. { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) }
Câu 4: Ánh xạ tuyến tính $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$ biến vector $(1, 0)$ thành $(2, 1)$ và vector $(0, 1)$ thành $(-1, 1)$. Ma trận biểu diễn của $f$ trong cơ sở chính tắc là:
- A. $egin{pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end{pmatrix}$
- B. $egin{pmatrix} 2 & -1 1 & 1 end{pmatrix}$
- C. $egin{pmatrix} 2 & 1 -1 & 1 end{pmatrix}$
- D. $egin{pmatrix} 1 & -1 2 & 1 end{pmatrix}$
Câu 5: Cho hàm số $f(x) = frac{x^2 - 4}{x - 2}$ khi $x
eq 2$. Để $f(x)$ liên tục tại $x = 2$, giá trị của $f(2)$ phải là:
- A. 0
- B. 2
- C. 4
- D. Không tồn tại
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số $y = ln(sin(x^2))$.
- A. $frac{cos(x^2)}{sin(x^2)}$
- B. $frac{2xcos(x^2)}{sin(x^2)}$
- D. $frac{2xcos(x^2)}{sin(x^2)}$
Câu 7: Tìm cực trị địa phương của hàm số $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5$.
- A. Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại (1, -2).
- B. Hàm số đạt cực đại địa phương tại (1, -2).
- C. Hàm số đạt cực tiểu địa phương tại (-1, 2).
- D. Hàm số không có cực trị địa phương.
Câu 8: Tính tích phân bất định $int x e^{x^2} dx$.
- A. $e^{x^2} + C$
- B. $frac{1}{2} e^{x^2} + C$
- C. $x^2 e^{x^2} + C$
- D. $frac{x^2}{2} e^{x^2} + C$
Câu 9: Giải phương trình vi phân cấp một $y" + 2y = e^{-x}$.
- A. $y = e^{-x} + C e^{-2x}$
- B. $y = x e^{-x} + C e^{2x}$
- C. $y = e^{-x} + C e^{-2x}$
- D. $y = C e^{-2x}$
Câu 10: Trong không gian vector $mathbb{R}^3$, cho hai vector $u = (1, 2, -1)$ và $v = (0, 1, 3)$. Tính tích có hướng $u imes v$.
- A. $(5, -3, 1)$
- B. $(7, -3, 1)$
- C. $(5, -3, -1)$
- D. $(7, -3, 1)$
Câu 11: Cho tập hợp $A = {1, 2, 3, 4, 5}$. Hỏi có bao nhiêu tập con của $A$ chứa phần tử 1 và không chứa phần tử 2?
Câu 12: Mệnh đề nào sau đây tương đương logic với mệnh đề $p
ightarrow q$?
- A. $q
ightarrow p$
- B. $p wedge q$
- C. $
eg q
ightarrow
eg p$
- D. $
eg p wedge
eg q$
Câu 13: Cho quan hệ $R$ trên tập số nguyên $mathbb{Z}$ xác định bởi $aRb$ nếu $a - b$ chia hết cho 3. Quan hệ $R$ có tính chất nào sau đây?
- A. Phản xạ và đối xứng nhưng không bắc cầu.
- B. Đối xứng và bắc cầu nhưng không phản xạ.
- C. Phản xạ và bắc cầu nhưng không đối xứng.
- D. Phản xạ, đối xứng và bắc cầu.
Câu 14: Giả sử $f: A o B$ và $g: B o C$ là các song ánh. Hỏi hợp thành $g circ f: A o C$ là ánh xạ gì?
- A. Song ánh.
- B. Đơn ánh nhưng không toàn ánh.
- C. Toàn ánh nhưng không đơn ánh.
- D. Không là đơn ánh cũng không là toàn ánh.
Câu 15: Tính tổng của chuỗi số hình học vô hạn $1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + frac{1}{8} + cdots$.
- A. 1
- B. 2
- C. $frac{3}{2}$
- D. Chuỗi phân kỳ.
Câu 16: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa $sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$.
- A. 1
- B. 0
- C. e
- D. $infty$
Câu 17: Cho số phức $z = 1 + isqrt{3}$. Biểu diễn lượng giác của $z$ là:
- A. $2(cos(frac{pi}{4}) + isin(frac{pi}{4}))$
- B. $sqrt{2}(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
- C. $2(cos(frac{pi}{3}) + isin(frac{pi}{3}))$
- D. $2(cos(frac{pi}{6}) + isin(frac{pi}{6}))$
Câu 18: Tìm nghiệm của phương trình $z^2 + 2z + 5 = 0$ trong tập số phức.
- A. $-1 pm 2$
- B. $-1 pm 2i$
- C. $1 pm 2i$
- D. $1 pm 2$
Câu 19: Trong không gian $mathbb{R}^3$, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng $2x - y + 3z = 5$?
- A. $x - y + 3z = 5$
- B. $2x + y + 3z = 5$
- C. $-2x + y - 3z = 5$
- D. $4x - 2y + 6z = 10$
Câu 20: Đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $x + y - z = 2$?
- A. $frac{x-1}{1} = frac{y}{1} = frac{z+1}{-1}$
- B. $frac{x-1}{1} = frac{y}{-1} = frac{z+1}{1}$
- C. $frac{x-1}{2} = frac{y}{2} = frac{z+1}{2}$
- D. $frac{x-1}{-1} = frac{y}{1} = frac{z+1}{1}$
Câu 21: Cho hàm $f(x) = egin{cases} x^2 sin(frac{1}{x}) & ext{nếu } x
eq 0 0 & ext{nếu } x = 0 end{cases}$. Hàm $f(x)$ có đạo hàm tại $x=0$ không?
- A. Không có đạo hàm tại $x=0$.
- B. Có đạo hàm tại $x=0$ và $f"(0) = 0$.
- C. Có đạo hàm tại $x=0$ và $f"(0) = 1$.
- D. Có đạo hàm tại $x=0$ và $f"(0) = -1$.
Câu 22: Tính giới hạn $lim_{x o 0} frac{sin(x) - x}{x^3}$.
- A. 0
- B. 1
- C. $-frac{1}{6}$
- D. $infty$
Câu 23: Tìm hạng của ma trận $B = egin{pmatrix} 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2 -1 & -2 & 1 end{pmatrix}$.
Câu 24: Cho không gian vector $V$ và $W$ là không gian con của $V$. Hỏi $V cap W$ có phải là không gian con của $V$ không?
- A. Có, $V cap W$ luôn là không gian con của $V$.
- B. Không, $V cap W$ không phải là không gian con của $V$.
- C. Chỉ khi $W subseteq V$ thì $V cap W$ là không gian con của $V$.
- D. Chỉ khi $V subseteq W$ thì $V cap W$ là không gian con của $V$.
Câu 25: Tìm giá trị riêng của ma trận $C = egin{pmatrix} 2 & 1 1 & 2 end{pmatrix}$.
- A. 1, 2
- B. 2, 3
- C. 1, 3
- D. -1, -3
Câu 26: Tính tích phân đường loại 1 $int_C (x+y) ds$, với $C$ là đoạn thẳng nối từ $(0,0)$ đến $(1,1)$.
- A. 1
- B. $sqrt{2}$
- C. 2
- D. $2sqrt{2}$
Câu 27: Giải phương trình đạo hàm riêng $frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} = 0$.
- A. $u(x, y) = f(x+y)$
- B. $u(x, y) = f(x-y)$
- C. $u(x, y) = f(x) + g(y)$
- D. $u(x, y) = f(x-y)$
Câu 28: Cho hàm $f(x,y) = x^2 + y^2$ và miền $D = {(x,y) mid x^2 + y^2 leq 1}$. Tìm giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$.
Câu 29: Xét phép biến đổi Laplace. Ảnh Laplace của hàm $f(t) = sin(at)$ là:
- A. $frac{a}{s^2 + a^2}$
- B. $frac{s}{s^2 + a^2}$
- C. $frac{a}{s^2 - a^2}$
- D. $frac{s}{s^2 - a^2}$
Câu 30: Trong lý thuyết đồ thị, bậc của một đỉnh là gì?
- A. Số đỉnh kề với đỉnh đó.
- B. Số cạnh liên thuộc với đỉnh đó.
- C. Tổng trọng số của các cạnh liên thuộc với đỉnh đó.
- D. Số đường đi ngắn nhất từ đỉnh đó đến tất cả các đỉnh khác.
