Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Toán Cao Cấp - Đề 04 bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy. Điểm dừng của hàm số này là:
- A. (0, 0) và (1, 1)
- B. (0, 0) và (1, -1)
- C. (0, 1) và (-1, 0)
- D. Không có điểm dừng
Câu 2: Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu:
- A. Tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = I, với I là ma trận đơn vị
- B. Định thức của ma trận A bằng 0
- C. Tất cả các phần tử của ma trận A đều khác 0
- D. Ma trận A là ma trận vuông và có các hàng độc lập tuyến tính
Câu 3: Cho tích phân bội hai ∫∫_D (x^2 + y^2) dA, trong đó D là hình tròn tâm gốc tọa độ, bán kính R. Sử dụng tọa độ cực, tích phân này được viết lại là:
- A. ∫_0^(2π) ∫_0^R (r^2) dr dθ
- B. ∫_0^(π) ∫_0^R (r^3) dr dθ
- C. ∫_0^(2π) ∫_0^R (r^3) dr dθ
- D. ∫_0^(π) ∫_0^R (r^2) r dr dθ
Câu 4: Tìm giới hạn của dãy số a_n = (2n^2 + 3n - 1) / (n^2 - 5).
- A. 0
- B. 1
- C. Vô cùng
- D. 2
Câu 5: Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng số thuần nhất?
- A. y"" + xy" + y = 0
- B. 2y"" - 3y" + 5y = 0
- C. y"" + (y")^2 + y = 0
- D. y"" - y" + sin(x)y = 0
Câu 6: Cho không gian vectơ V = ℝ^3. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của V?
- A. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
- B. {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}
- C. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
- D. {(1, 2, 3), (0, 0, 0), (4, 5, 6)}
Câu 7: Tìm đạo hàm riêng cấp hai ∂^2f/∂x∂y của hàm số f(x, y) = sin(xy).
- A. -x^2cos(xy)
- B. y^2cos(xy)
- C. cos(xy) - xy sin(xy)
- D. -sin(xy)
Câu 8: Cho chuỗi số ∑_(n=1)^∞ (1/n^p). Chuỗi này hội tụ khi và chỉ khi:
- A. p ≤ 1
- B. p < 1
- C. p = 1
- D. p > 1
Câu 9: Định thức của ma trận A = [[2, 1], [4, 3]] là:
Câu 10: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y" = 2x là:
- A. 2x^2 + C
- B. x^2 + C
- C. 2 + C
- D. e^(2x) + C
Câu 11: Cho hàm số f(x) = {x^2 sin(1/x) nếu x ≠ 0; 0 nếu x = 0}. Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0.
- A. Không khả vi
- B. Khả vi và f"(0) = 1
- C. Khả vi và f"(0) = 0
- D. Khả vi và f"(0) = 2
Câu 12: Giá trị riêng của ma trận A = [[3, 0], [0, -2]] là:
- A. 1 và -1
- B. 0 và 3
- C. 2 và -3
- D. 3 và -2
Câu 13: Tính tích phân ∫_0^1 xe^(x^2) dx.
- A. e - 1
- B. (e - 1) / 2
- C. 2(e - 1)
- D. e
Câu 14: Cho hàm số z = f(x, y), vi phân toàn phần dz được tính bởi công thức:
- A. dz = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
- B. dz = (∂f/∂x)dy + (∂f/∂y)dx
- C. dz = (∂^2f/∂x^2)dx + (∂^2f/∂y^2)dy
- D. dz = (∂f/∂x + ∂f/∂y)dxdy
Câu 15: Chuỗi lũy thừa ∑_(n=0)^∞ c_n (x - a)^n có bán kính hội tụ R được xác định bởi công thức nào sau đây (nếu giới hạn tồn tại)?
- A. R = lim_(n→∞) |c_(n+1) / c_n|
- B. R = lim_(n→∞) |c_n / c_(n+1)|
- C. R = 1 / lim_(n→∞) |c_(n+1) / c_n|
- D. R = 1 / lim_(n→∞) |c_n / c_(n+1)|
Câu 16: Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi:
- A. det(A) = 0
- B. rank(A) < rank([A|b])
- C. rank(A) < số ẩn
- D. rank(A) = rank([A|b]) = số ẩn
Câu 17: Tính tích phân đường loại 2 ∫_C (x dy - y dx), với C là đường tròn x^2 + y^2 = 1, lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 18: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a, b]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A. f(x) khả vi trên (a, b)
- B. f(a) = f(b)
- C. Tồn tại c ∈ [a, b] sao cho ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b - a)
- D. f(x) đơn điệu trên [a, b]
Câu 19: Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) = e^(at) là:
- A. 1/(s - a), s < a
- B. 1/(s + a), s > -a
- C. 1/(a - s), s > a
- D. 1/(s - a), s > a
Câu 20: Cho ánh xạ tuyến tính f: ℝ^2 → ℝ^2 xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc là:
- A. [[2, 1], [1, -1]]
- B. [[2, -1], [1, 1]]
- C. [[1, 2], [-1, 1]]
- D. [[-1, 1], [2, 1]]
Câu 21: Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑_(n=1)^∞ (x^n / n) là:
- A. (-1, 1)
- B. [-1, 1]
- C. [-1, 1)
- D. (-1, 1]
Câu 22: Nghiệm riêng của phương trình vi phân y"" - 4y" + 4y = e^(2x) có dạng:
- A. Ae^(2x)
- B. Ax^2e^(2x)
- C. Axe^(2x)
- D. A sin(2x) + B cos(2x)
Câu 23: Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2 tại điểm (1, 1). Tìm vectơ gradient ∇f(1, 1).
- A. (1, 1)
- B. (2, 0)
- C. (0, 2)
- D. (2, 2)
Câu 24: Tính hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 6, 9]].
Câu 25: Cho hàm số f(x) = ln(x). Tính đạo hàm cấp n của f(x), f^(n)(x).
- A. (-1)^(n-1) (n-1)! / x^n
- B. (-1)^(n-1) (n-1)! / x^n
- C. n! / x^n
- D. (-1)^n n! / x^n
Câu 26: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 3x.
- A. Hàm số có cực đại tại x = -1 và cực tiểu tại x = 1
- B. Hàm số có cực tiểu tại x = -1 và cực đại tại x = 1
- C. Hàm số chỉ có cực đại
- D. Hàm số chỉ có cực tiểu
Câu 27: Cho tích phân suy rộng ∫_1^∞ (1/x^α) dx. Tích phân này hội tụ khi:
- A. α ≤ 1
- B. α < 1
- C. α = 1
- D. α > 1
Câu 28: Trong không gian vectơ ℝ^3, tích có hướng của hai vectơ u = (1, 2, 3) và v = (4, 5, 6) là:
- A. ( -3, 6, -3)
- B. ( -3, 6, -3)
- C. (3, -6, 3)
- D. (3, 6, 3)
Câu 29: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cos(x) = 1/2 trong khoảng [0, 2π].
- A. π/3
- B. 2π/3
- C. π/3 và 5π/3
- D. π/6 và 11π/6
Câu 30: Cho hàm số f(x, y) = xy. Tính tích phân đường ∫_C f(x, y) ds, với C là đoạn thẳng nối từ (0, 0) đến (1, 1).
- A. 1/2
- B. √2/2
- C. 1
- D. √2/6
