Bài Tập, Đề Thi Trắc Nghiệm Online - Môn Toán Cao Cấp bao gồm nhiều câu hỏi hay, bám sát chương trình. Cùng làm bài tập trắc nghiệm ngay.
Câu 1: Cho hàm số f(x, y) = x^3 - 3xy + y^2. Điểm dừng của hàm số này là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
- A. ∂f/∂x = 3x^2 + y = 0, ∂f/∂y = -3x + 2y = 0
- B. ∂f/∂x = 3x^2 - 3y = 0, ∂f/∂y = -3x + 2y = 0
- C. ∂f/∂x = x^2 - 3y = 0, ∂f/∂y = -3x + y = 0
- D. ∂f/∂x = 3x^2 - 3xy = 0, ∂f/∂y = -3xy + 2y = 0
Câu 2: Ma trận A vuông cấp 3 có định thức det(A) = 5. Định thức của ma trận 2A là bao nhiêu?
Câu 3: Cho tích phân suy rộng ∫[1, +∞] (1/x^α) dx. Tích phân này hội tụ khi và chỉ khi:
- A. α ≤ 1
- B. α < 1
- C. α = 1
- D. α > 1
Câu 4: Xét hệ vectơ S = {u1=(1, 2, 3), u2=(2, 4, 6), u3=(0, 1, 1)}. Phát biểu nào sau đây là đúng?
- A. Hệ S là hệ phụ thuộc tuyến tính.
- B. Hệ S là hệ độc lập tuyến tính.
- C. Hệ S là cơ sở của không gian R^3.
- D. Hạng của hệ S bằng 3.
Câu 5: Tìm giới hạn của dãy số a_n = (2n^2 + 3n - 1) / (n^2 - 5n + 2) khi n → ∞.
Câu 6: Cho phương trình vi phân y"" - 3y" + 2y = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng nào?
- A. y = C1e^x + C2xe^x
- B. y = C1e^x + C2e^(2x)
- C. y = (C1 + C2x)e^(2x)
- D. y = C1cos(x) + C2sin(x)
Câu 7: Tính tích phân đường loại 2 ∫_C (x^2 dy - y dx) với C là đường tròn đơn vị ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 8: Tìm giá trị riêng của ma trận A = [[2, 1], [1, 2]].
- A. λ = 1
- B. λ = 2
- C. λ = 1, λ = 3
- D. λ = -1, λ = 3
Câu 9: Cho chuỗi số ∑[n=1, ∞] ((-1)^n) / n^p. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối khi:
- A. p > 0
- B. p > 1
- C. p ≥ 1
- D. p ≤ 1
Câu 10: Trong không gian vectơ R^3, cho hai vectơ u = (1, -2, 1) và v = (0, 1, -1). Tính tích vectơ có hướng u × v.
- A. (1, 1, 1)
- B. (-1, -1, -1)
- C. (0, 0, 0)
- D. (2, -1, 1)
Câu 11: Hàm số nào sau đây liên tục trên toàn bộ tập số thực R?
- A. f(x) = 1/x
- B. f(x) = tan(x)
- C. f(x) = √(x) (với x ≥ 0)
- D. f(x) = x^3 - 2x + 1
Câu 12: Cho ánh xạ tuyến tính f: R^2 → R^2 xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x - y). Ma trận biểu diễn của f trong cơ sở chính tắc là:
- A. [[1, -1], [2, 1]]
- B. [[2, 1], [1, -1]]
- C. [[2, -1], [1, 1]]
- D. [[-1, 1], [1, 2]]
Câu 13: Giải phương trình vi phân tách biến dy/dx = x/y.
- A. y = x^2 + C
- B. y = ±√(x^2 + C)
- C. y^2 = x^2 + C
- D. y = Ce^(x^2)
Câu 14: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑[n=0, ∞] (x^n) / (n+1).
- A. [-1, 1)
- B. (-1, 1)
- C. (-1, 1]
- D. [-1, 1]
Câu 15: Cho hàm số z = f(x, y) = xy^2. Tính đạo hàm riêng cấp hai ∂^2z / (∂x∂y).
Câu 16: Trong không gian R^3, phương trình x^2 + y^2 - z^2 = 1 biểu diễn mặt gì?
- A. Mặt paraboloid elliptic
- B. Mặt hyperboloid một tầng
- C. Mặt nón elliptic
- D. Mặt cầu
Câu 17: Cho hàm số f(x) = e^(x^2). Khai triển Taylor của f(x) tại x = 0 đến số hạng bậc 4 là:
- A. 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!
- B. 1 + x^2 + x^4/2!
- C. 1 + x^2 + x^4/2
- D. 1 + x + x^2 + x^3 + x^4
Câu 18: Tìm hạng của ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [0, 1, 2]].
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. Không xác định
Câu 19: Cho miền D được giới hạn bởi y = x^2 và y = x. Tính diện tích miền D.
- A. 1/2
- B. 1/3
- C. 2/3
- D. 1/6
Câu 20: Hệ phương trình tuyến tính AX = b có nghiệm duy nhất khi:
- A. det(A) = 0
- B. rank(A) < rank([A|b])
- C. rank(A) = rank([A|b]) = số ẩn và det(A) ≠ 0
- D. rank(A) ≠ rank([A|b])
Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = ln(sin(x)).
- A. cot(x)
- B. tan(x)
- C. 1/(sin(x))
- D. cos(ln(x))
Câu 22: Cho không gian vectơ V. Tập con W của V là không gian con của V nếu thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
- A. W đóng kín với phép cộng vectơ.
- B. W đóng kín với phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng, và chứa vectơ không.
- C. W chứa vectơ không.
- D. W là tập con khác rỗng của V.
Câu 23: Tìm cực trị của hàm số f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.
- A. Hàm số không có cực trị.
- B. Cực tiểu tại x = 1, cực đại tại x = 3.
- C. Cực đại tại x = 1, cực tiểu tại x = 3.
- D. Cực đại tại x = 2.
Câu 24: Cho tích phân bội hai ∫∫_D f(x, y) dA. Để chuyển sang tọa độ cực, ta thay dA bằng:
- A. dx dy
- B. dr dθ
- C. r dr
- D. r dr dθ
Câu 25: Nghiệm riêng của phương trình vi phân y" + 2y = e^(-2x) có dạng nào?
- A. Ce^(-2x)
- B. Axe^(-2x)
- C. Ae^(-2x)
- D. A sin(2x) + B cos(2x)
Câu 26: Tính tổng của chuỗi hình học vô hạn 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...
- A. 2
- B. 1.4
- C. 3/2
- D. Không hội tụ
Câu 27: Cho hàm số f(x, y) = x^2 + y^2. Tìm gradient của f tại điểm (1, 2).
- A. (1, 2)
- B. (2, 4)
- C. (2x, 2y)
- D. (2, 4)
Câu 28: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = [[2, 3], [1, 2]].
- A. [[2, -3], [-1, 2]]
- B. [[2, -3], [-1, 2]]
- C. [[2, 1], [3, 2]]
- D. Ma trận không khả nghịch
Câu 29: Tính đạo hàm riêng của hàm số f(x, y, z) = xy + yz + zx theo biến x.
- A. y + z
- B. x + y + z
- C. y + z
- D. xy + yz
Câu 30: Cho không gian vectơ R^3 với tích vô hướng Euclid. Tìm hình chiếu trực giao của vectơ u = (1, 2, 3) lên không gian con sinh bởi vectơ v = (1, 1, 0).
- A. (3/2, 3/2, 0)
- B. (1, 1, 0)
- C. (0, 0, 0)
- D. (1/2, 1/2, 0)
